与えられた関数 $y = (1 + \frac{1}{x})^3$ を $x$ について微分せよ。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = (1 + \frac{1}{x})^3$ を $x$ について微分せよ。

2. 解き方の手順

合成関数の微分を行います。まず、外側の関数 $u^3$ と内側の関数 $u = 1 + \frac{1}{x}$ に分けます。

1. 外側の関数の微分：

$u^3$ を $u$ で微分すると、

$\frac{d}{du}(u^3) = 3u^2$

2. 内側の関数の微分：

$u = 1 + \frac{1}{x}$ を $x$ で微分すると、

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(1 + \frac{1}{x}) = \frac{d}{dx}(1 + x^{-1}) = 0 - x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$

3. 合成関数の微分：

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{dx} = 3u^2 \cdot (-\frac{1}{x^2})$

4. $u$ を元に戻す：

$\frac{dy}{dx} = 3(1 + \frac{1}{x})^2 \cdot (-\frac{1}{x^2})$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{x^2}(1 + \frac{1}{x})^2$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{x^2}(1 + \frac{1}{x})^2$