$n$次正方行列$A$について、$A$が正則行列であるとき、その転置行列${}^tA$も正則行列であり、${}^t(A)^{-1} = ({}^tA)^{-1}$であることを示す。

1. 問題の内容

$n$次正方行列$A$について、$A$が正則行列であるとき、その転置行列${}^tA$も正則行列であり、${}^t(A)^{-1} = ({}^tA)^{-1}$であることを示す。

2. 解き方の手順

ステップ1：$A$が正則であることから、$AA^{-1} = A^{-1}A = E$ (単位行列) が成り立つことを確認します。

ステップ2：ステップ1の式の転置を取ります。転置の性質として、${}^t(AB) = {}^tB {}^tA$と${}^tE = E$が成り立ちます。

$${}^t(AA^{-1}) = {}^t(A^{-1}) {}^t(A) = {}^tE = E$$

$${}^t(A^{-1}A) = {}^t(A) {}^t(A^{-1}) = {}^tE = E$$

ステップ3：ステップ2の結果から、${}^t(A^{-1}) {}^t(A) = {}^t(A) {}^t(A^{-1}) = E$が成り立つことがわかります。

これは、${}^t(A^{-1})$が${}^tA$の逆行列であることを意味します。したがって、${}^tA$は正則であり、その逆行列は${}^t(A^{-1})$です。

つまり、

$${}({}^tA)^{-1} = {}^t(A^{-1})$$

が成り立ちます。

3. 最終的な答え

${}^t(A)^{-1} = ({}^tA)^{-1}$