2次関数 $y = x^2 - 2x + 3$ の $-2 \le x < 2$ における値域を求める問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 2x + 3$ の $-2 \le x < 2$ における値域を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 2x + 3 = (x - 1)^2 - 1 + 3 = (x - 1)^2 + 2$

この2次関数は、軸が $x = 1$ であり、頂点の座標は $(1, 2)$ です。

定義域 $-2 \le x < 2$ における関数の値を考えます。

$x = 1$ は定義域に含まれるので、$x = 1$ のとき、$y = (1 - 1)^2 + 2 = 2$ となり、これが最小値となります。

次に、定義域の端点での値を調べます。

$x = -2$ のとき、$y = (-2 - 1)^2 + 2 = (-3)^2 + 2 = 9 + 2 = 11$

$x = 2$ のとき、$y = (2 - 1)^2 + 2 = 1^2 + 2 = 1 + 2 = 3$

ただし、$x < 2$ より、$x = 2$ のときの値は含まれません。したがって、$y$ は3に限りなく近づきますが、3にはなりません。

したがって、$2 \le y < 11$ となります。

3. 最終的な答え

$2 \le y < 11$