2次関数 $y = 3x^2 - 4x + 5$ の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = 3x^2 - 4x + 5$ の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた2次関数を平方完成することで、頂点のy座標（最小値）を求めることができます。

まず、$x^2$の係数で$x$の項を括ります。

$y = 3(x^2 - \frac{4}{3}x) + 5$

次に、括弧の中を平方完成します。

$x^2 - \frac{4}{3}x = (x - \frac{2}{3})^2 - (\frac{2}{3})^2 = (x - \frac{2}{3})^2 - \frac{4}{9}$

上記の式を元の式に代入すると、

$y = 3((x - \frac{2}{3})^2 - \frac{4}{9}) + 5$

$y = 3(x - \frac{2}{3})^2 - 3 \cdot \frac{4}{9} + 5$

$y = 3(x - \frac{2}{3})^2 - \frac{4}{3} + 5$

$y = 3(x - \frac{2}{3})^2 - \frac{4}{3} + \frac{15}{3}$

$y = 3(x - \frac{2}{3})^2 + \frac{11}{3}$

よって、頂点の座標は$(\frac{2}{3}, \frac{11}{3})$です。

$x = \frac{2}{3}$のとき、最小値 $y = \frac{11}{3}$をとります。

3. 最終的な答え

$\frac{11}{3}$