$a, b, c \in \mathbb{R}^n$ が1次独立のとき、$a+b, b+c, c+a$ も1次独立であることを示す。

1. 問題の内容

$a, b, c \in \mathbb{R}^n$ が1次独立のとき、$a+b, b+c, c+a$ も1次独立であることを示す。

2. 解き方の手順

$a+b, b+c, c+a$ が1次独立であることを示すために、

$x(a+b) + y(b+c) + z(c+a) = 0$

が成り立つとき、$x = y = z = 0$ を示せば良い。

上記の式を展開すると、

$xa + xb + yb + yc + zc + za = 0$

$(x+z)a + (x+y)b + (y+z)c = 0$

$a, b, c$ は1次独立であるから、

$x + z = 0$

$x + y = 0$

$y + z = 0$

この連立方程式を解く。

$x = -z$ を $x+y=0$ に代入すると、$y = z$

$y = z$ を $y+z=0$ に代入すると、$z+z = 2z = 0$ より $z = 0$

$z = 0$ より $x = 0$ かつ $y = 0$

したがって、$x = y = z = 0$ となるので、$a+b, b+c, c+a$ は1次独立である。

3. 最終的な答え

$a, b, c \in \mathbb{R}^n$ が1次独立ならば、$a+b, b+c, c+a$ も1次独立である。