2次関数 $y = x^2 - 2x + 3$ の $0 \le x < 3$ における値域を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 2x + 3$ の $0 \le x < 3$ における値域を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、2次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 2x + 3 = (x^2 - 2x + 1) + 2 = (x-1)^2 + 2$

このグラフは下に凸であり、頂点の座標は$(1, 2)$です。

次に、定義域 $0 \le x < 3$ における関数の値を考えます。

$x=0$ のとき、$y = (0-1)^2 + 2 = 1 + 2 = 3$

$x=3$ のとき、$y = (3-1)^2 + 2 = 4 + 2 = 6$

また、頂点の$x$座標である $x=1$ は定義域に含まれているので、$x=1$のとき、$y = 2$となります。

$0 \le x < 3$ において、$y$ の最小値は $x=1$ のとき $y=2$ です。

$x < 3$ より、$x=3$ のときの $y$ の値は含みません。

$x=3$ に近づくにつれて $y$ は $6$ に近づきますが、$6$ になることはありません。

したがって、$y$ の取りうる値の範囲は $2 \le y < 6$ となります。

3. 最終的な答え

$2 \le y < 6$