40人のクラスで、文化系のクラブに所属している生徒が12人、そのうち運動系のクラブにも所属している生徒が6人いる。文化系、運動系のいずれにも所属していない生徒が10人いるとき、運動系のクラブに所属している生徒の人数を求める。また、$x+y+z+w=7$ を満たす自然数の組 $(x, y, z, w)$ は全部で何組あるかを求める。

1. 問題の内容

40人のクラスで、文化系のクラブに所属している生徒が12人、そのうち運動系のクラブにも所属している生徒が6人いる。文化系、運動系のいずれにも所属していない生徒が10人いるとき、運動系のクラブに所属している生徒の人数を求める。また、$x+y+z+w=7$ を満たす自然数の組 $(x, y, z, w)$ は全部で何組あるかを求める。

2. 解き方の手順

まず、クラブの所属に関する問題を解きます。

* クラス全体の生徒数：40人

* 文化系のクラブに所属する生徒数：12人

* 文化系かつ運動系のクラブに所属する生徒数：6人

* 文化系、運動系のいずれにも所属しない生徒数：10人

運動系クラブに所属する生徒数を$x$とする。

* 文化系のみに所属する生徒数：12 - 6 = 6人

* 文化系または運動系に所属する生徒数：40 - 10 = 30人

文化系または運動系に所属する生徒数は、文化系のみに所属する生徒数、運動系のみに所属する生徒数、両方に所属する生徒数の合計で表される。したがって、

$6 + (x - 6) + 6 = 30$

$x + 6 = 30$

$x = 30 - 6$

$x = 24$

したがって、運動系のクラブに所属している生徒数は24人である。

次に、$x+y+z+w = 7$を満たす自然数の組$(x, y, z, w)$の数を求める。

これは、7個の区別できないものを4つの区別できる箱に入れる問題と同じです。各箱には少なくとも1つは入れる必要があります。

$x, y, z, w$ は自然数なので、 $x, y, z, w \ge 1$。

そこで、$x' = x - 1$, $y' = y - 1$, $z' = z - 1$, $w' = w - 1$ とおくと、 $x', y', z', w' \ge 0$ となり、$x = x' + 1$, $y = y' + 1$, $z = z' + 1$, $w = w' + 1$ である。

元の式に代入すると、

$(x' + 1) + (y' + 1) + (z' + 1) + (w' + 1) = 7$

$x' + y' + z' + w' = 7 - 4 = 3$

この式を満たす非負整数の組 $(x', y', z', w')$ の数を求める。

これは、3個の区別できないものを4つの区別できる箱に入れる問題と同じです。

これは重複組み合わせの問題であり、その解は $_{n+r-1}C_{r}$ で求められる。

ここで、$n = 4$ (変数の数) で、$r = 3$ (合計の値) である。

$_{4+3-1}C_{3} = _{6}C_{3} = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

したがって、$x+y+z+w = 7$ を満たす自然数の組 $(x, y, z, w)$ は20組ある。

3. 最終的な答え

運動系のクラブに所属している生徒は24人。

$x+y+z+w = 7$ を満たす自然数の組 $(x, y, z, w)$ は20組。