0, 1, 2, 3, 4, 5 の6個の数字を1個ずつ使って3桁の整数を作る。次の問いに答えよ。 (1) 偶数は何個作れるか。 (2) 300より小さい数は何個作れるか。

1. 問題の内容

0, 1, 2, 3, 4, 5 の6個の数字を1個ずつ使って3桁の整数を作る。次の問いに答えよ。

(1) 偶数は何個作れるか。

(2) 300より小さい数は何個作れるか。

2. 解き方の手順

(1) 偶数の個数を求める。

3桁の整数が偶数であるためには、一の位が偶数である必要がある。

与えられた数字の中で偶数は0, 2, 4の3つである。

ただし、百の位が0になることはないので注意する。

(i) 一の位が0の場合：

百の位は0以外の5つの数字から選ぶことができ、十の位は残りの4つの数字から選ぶことができる。

したがって、この場合は $5 \times 4 = 20$ 個の整数が作れる。

(ii) 一の位が2または4の場合：

一の位は2通り。百の位は0と一の位で使用した数以外の4つの数字から選ぶことができる。

十の位は残りの4つの数字から選ぶことができる。

したがって、この場合は $2 \times 4 \times 4 = 32$ 個の整数が作れる。

(i)と(ii)を合わせて、偶数の個数は $20 + 32 = 52$ 個である。

(2) 300より小さい数の個数を求める。

3桁の整数が300より小さいためには、百の位が1または2である必要がある。

(i) 百の位が1の場合：

十の位は残りの5つの数字から選ぶことができ、一の位は残りの4つの数字から選ぶことができる。

したがって、この場合は $1 \times 5 \times 4 = 20$ 個の整数が作れる。

(ii) 百の位が2の場合：

十の位は残りの5つの数字から選ぶことができ、一の位は残りの4つの数字から選ぶことができる。

したがって、この場合は $1 \times 5 \times 4 = 20$ 個の整数が作れる。

(i)と(ii)を合わせて、300より小さい数の個数は $20 + 20 = 40$ 個である。

3. 最終的な答え

(1) 52個

(2) 40個