(1) 実数 $k$ を定数とする。連立方程式 $\begin{cases} 2^{x+1} + 3^y = 2 \\ k \cdot 2^x - 3^y = 3k - 1 \end{cases}$ の解が存在するような $k$ の値の範囲を求めよ。 (2) $a$ を $a > 0$, $a \neq 1$ を満たす実数とするとき、不等式 $3 \log_a(2x+4) \le 2 \log_a(4-x) - \log_a 4$ を満たす $x$ の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 実数 $k$ を定数とする。連立方程式

$\begin{cases} 2^{x+1} + 3^y = 2 \\ k \cdot 2^x - 3^y = 3k - 1 \end{cases}$

の解が存在するような $k$ の値の範囲を求めよ。

(2) $a$ を $a > 0$, $a \neq 1$ を満たす実数とするとき、不等式

$3 \log_a(2x+4) \le 2 \log_a(4-x) - \log_a 4$

を満たす $x$ の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、与えられた連立方程式を整理する。

$\begin{cases} 2 \cdot 2^x + 3^y = 2 \\ k \cdot 2^x - 3^y = 3k - 1 \end{cases}$

この連立方程式を $2^x$ と $3^y$ について解く。

2つの式を足し合わせると、

$(2+k) \cdot 2^x = 3k + 1$

$2^x = \frac{3k+1}{2+k}$

1つ目の式から2つ目の式を引くと、

$2 \cdot 2^x - k \cdot 2^x + 2 \cdot 3^y = 3 - 3k$

$(2-k) \cdot 2^x + 2 \cdot 3^y = 3(1-k)$

$2 \cdot 3^y = 3(1-k) - (2-k) \cdot 2^x$

$2 \cdot 3^y = 3(1-k) - (2-k) \cdot \frac{3k+1}{2+k}$

$3^y = \frac{3(1-k)}{2} - \frac{(2-k)(3k+1)}{2(2+k)} = \frac{3(1-k)(2+k)-(2-k)(3k+1)}{2(2+k)}$

$3^y = \frac{3(2+k-2k-k^2)-(6k+2-3k^2-k)}{2(2+k)} = \frac{6-3k-3k^2-6k-2+3k^2+k}{2(2+k)} = \frac{4-8k}{2(2+k)} = \frac{2-4k}{2+k} = \frac{2(1-2k)}{2+k}$

$2^x > 0$ かつ $3^y > 0$ である必要があるため、

$\frac{3k+1}{2+k} > 0$ かつ $\frac{1-2k}{2+k} > 0$

$\frac{3k+1}{k+2} > 0$ より、$k < -2$ または $k > -\frac{1}{3}$

$\frac{1-2k}{k+2} > 0$ より、$-2 < k < \frac{1}{2}$

したがって、$-\frac{1}{3} < k < \frac{1}{2}$

(2)

不等式 $3 \log_a(2x+4) \le 2 \log_a(4-x) - \log_a 4$ を解く。

真数条件より、$2x+4 > 0$ かつ $4-x > 0$ なので、$-2 < x < 4$

$\log_a (2x+4)^3 \le \log_a (4-x)^2 - \log_a 4 = \log_a \frac{(4-x)^2}{4}$

$\log_a (2x+4)^3 \le \log_a \frac{(4-x)^2}{4}$

(i) $a > 1$ のとき、$(2x+4)^3 \le \frac{(4-x)^2}{4}$

(ii) $0 < a < 1$ のとき、$(2x+4)^3 \ge \frac{(4-x)^2}{4}$

$(2x+4)^3 \le \frac{(4-x)^2}{4}$ は $(2(x+2))^3 \le \frac{(4-x)^2}{4}$

$8(x+2)^3 \le \frac{(4-x)^2}{4}$

$32(x+2)^3 \le (4-x)^2$

$32(x^3 + 6x^2 + 12x + 8) \le 16-8x+x^2$

$32x^3+192x^2+384x+256 \le 16-8x+x^2$

$32x^3+191x^2+392x+240 \le 0$

$x = -2$ の近傍で考えると、$x=-2$を代入すると0になるような式を見つけたい

$32(-2)^3+191(-2)^2+392(-2)+240 = -256+764-784+240=-256+764-784+240=-36 < 0$

(i)の$a > 1$ のとき、$(2x+4)^3 \le \frac{(4-x)^2}{4}$ より、$32(x+2)^3 - (4-x)^2 \le 0$ を解く。

$x = -2$ 付近で解が存在し、$x$ の範囲は $-2 < x < 4$ である。

不等式は解けない。

(ii)の$0 < a < 1$ のとき、$(2x+4)^3 \ge \frac{(4-x)^2}{4}$ より、$32(x+2)^3 - (4-x)^2 \ge 0$ を解く。

$x = -2$ 付近で解が存在し、$x$ の範囲は $-2 < x < 4$ である。

不等式は解けない。

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{1}{3} < k < \frac{1}{2}$

(2) 解なし