$t = x^2 - 2x + 4$のとき、以下の問いに答えます。 (1) $t$の値の範囲を求めます。 (2) $y = (x^2 - 2x + 4)^2 - 4(x^2 - 2x + 4) + 10$の最小値と、そのときの$x$の値を求めます。

1. 問題の内容

$t = x^2 - 2x + 4$のとき、以下の問いに答えます。

(1) $t$の値の範囲を求めます。

(2) $y = (x^2 - 2x + 4)^2 - 4(x^2 - 2x + 4) + 10$の最小値と、そのときの$x$の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $t = x^2 - 2x + 4$を平方完成して、$t$の値の範囲を求めます。

$t = x^2 - 2x + 4 = (x - 1)^2 - 1 + 4 = (x - 1)^2 + 3$

$(x - 1)^2 \geq 0$なので、$t \geq 3$となります。

(2) $y = (x^2 - 2x + 4)^2 - 4(x^2 - 2x + 4) + 10$に、$t = x^2 - 2x + 4$を代入します。

$y = t^2 - 4t + 10$

これを平方完成します。

$y = t^2 - 4t + 10 = (t - 2)^2 - 4 + 10 = (t - 2)^2 + 6$

$t \geq 3$なので、$t = 3$のときに$y$は最小値をとります。

$t = 3$のとき、$y = (3 - 2)^2 + 6 = 1 + 6 = 7$

$t = 3$のとき、$x^2 - 2x + 4 = 3$なので、$x^2 - 2x + 1 = 0$

$(x - 1)^2 = 0$

$x = 1$

3. 最終的な答え

(1) $t \geq 3$

(2) 最小値: 7, そのときの$x$: 1