与えられた4つの2次不等式をそれぞれ解く問題です。 (1) $-x^2 + 5x - 4 > 0$ (2) $-x^2 + 2 < 0$ (3) $-x^2 - 6x - 3 \le 0$ (4) $-2x^2 - 5x + 1 \ge 0$

1. 問題の内容

与えられた4つの2次不等式をそれぞれ解く問題です。

(1) $-x^2 + 5x - 4 > 0$

(2) $-x^2 + 2 < 0$

(3) $-x^2 - 6x - 3 \le 0$

(4) $-2x^2 - 5x + 1 \ge 0$

2. 解き方の手順

各不等式をそれぞれ解きます。まず、各不等式の両辺に-1を掛けて、$x^2$の係数を正にします。その後、左辺を因数分解するか、解の公式を用いて解を求め、不等式の解を求めます。

(1) $-x^2 + 5x - 4 > 0$

両辺に-1を掛けると、 $x^2 - 5x + 4 < 0$

左辺を因数分解すると、 $(x - 1)(x - 4) < 0$

したがって、解は $1 < x < 4$

(2) $-x^2 + 2 < 0$

両辺に-1を掛けると、 $x^2 - 2 > 0$

左辺を因数分解すると、 $(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) > 0$

したがって、解は $x < -\sqrt{2}$ または $x > \sqrt{2}$

(3) $-x^2 - 6x - 3 \le 0$

両辺に-1を掛けると、 $x^2 + 6x + 3 \ge 0$

$x^2 + 6x + 3 = 0$ の解は、解の公式より $x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{6}}{2} = -3 \pm \sqrt{6}$

したがって、解は $x \le -3 - \sqrt{6}$ または $x \ge -3 + \sqrt{6}$

(4) $-2x^2 - 5x + 1 \ge 0$

両辺に-1を掛けると、 $2x^2 + 5x - 1 \le 0$

$2x^2 + 5x - 1 = 0$ の解は、解の公式より $x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{4} = \frac{-5 \pm \sqrt{33}}{4}$

したがって、解は $\frac{-5 - \sqrt{33}}{4} \le x \le \frac{-5 + \sqrt{33}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $1 < x < 4$

(2) $x < -\sqrt{2}$ または $x > \sqrt{2}$

(3) $x \le -3 - \sqrt{6}$ または $x \ge -3 + \sqrt{6}$

(4) $\frac{-5 - \sqrt{33}}{4} \le x \le \frac{-5 + \sqrt{33}}{4}$