与えられた4つの二重根号の式を簡単にする問題です。 (1) $\sqrt{11+2\sqrt{30}}$ (2) $\sqrt{9-2\sqrt{14}}$ (3) $\sqrt{10-\sqrt{84}}$ (4) $\sqrt{6+\sqrt{35}}$

1. 問題の内容

与えられた4つの二重根号の式を簡単にする問題です。

(1) $\sqrt{11+2\sqrt{30}}$

(2) $\sqrt{9-2\sqrt{14}}$

(3) $\sqrt{10-\sqrt{84}}$

(4) $\sqrt{6+\sqrt{35}}$

2. 解き方の手順

二重根号を外す公式は、$\sqrt{a\pm2\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-4b}}{2}} \pm \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-4b}}{2}}$ ですが、公式を使わずに、$\sqrt{(x+y)\pm2\sqrt{xy}} = \sqrt{x} \pm \sqrt{y}$を利用します。ただし、$x > y$とします。

(1) $\sqrt{11+2\sqrt{30}}$

$11 = 5 + 6$ かつ $30 = 5 \times 6$ なので、

$\sqrt{11+2\sqrt{30}} = \sqrt{5+6+2\sqrt{5\times6}} = \sqrt{(\sqrt{6}+\sqrt{5})^2} = \sqrt{6}+\sqrt{5}$

(2) $\sqrt{9-2\sqrt{14}}$

$9 = 2 + 7$ かつ $14 = 2 \times 7$ なので、

$\sqrt{9-2\sqrt{14}} = \sqrt{2+7-2\sqrt{2\times7}} = \sqrt{(\sqrt{7}-\sqrt{2})^2} = \sqrt{7}-\sqrt{2}$

(3) $\sqrt{10-\sqrt{84}} = \sqrt{10-2\sqrt{21}}$

$10 = 3 + 7$ かつ $21 = 3 \times 7$ なので、

$\sqrt{10-2\sqrt{21}} = \sqrt{3+7-2\sqrt{3\times7}} = \sqrt{(\sqrt{7}-\sqrt{3})^2} = \sqrt{7}-\sqrt{3}$

(4) $\sqrt{6+\sqrt{35}} = \sqrt{\frac{12+2\sqrt{35}}{2}} = \frac{\sqrt{12+2\sqrt{35}}}{\sqrt{2}}$

$12 = 5+7$ かつ $35 = 5 \times 7$ なので、

$\frac{\sqrt{12+2\sqrt{35}}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5+7+2\sqrt{5\times7}}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{(\sqrt{7}+\sqrt{5})^2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14}+\sqrt{10}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{6}+\sqrt{5}$

(2) $\sqrt{7}-\sqrt{2}$

(3) $\sqrt{7}-\sqrt{3}$

(4) $\frac{\sqrt{14}+\sqrt{10}}{2}$