2次不等式 $x^2 - 5x + k > 0$ の解がすべての実数となるような定数 $k$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

2次不等式 $x^2 - 5x + k > 0$ の解がすべての実数となるような定数 $k$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

2次不等式 $ax^2 + bx + c > 0$ の解がすべての実数となる条件は、$a > 0$ かつ $b^2 - 4ac < 0$ であることです。

与えられた不等式 $x^2 - 5x + k > 0$ において、$a = 1$, $b = -5$, $c = k$ です。

$a = 1 > 0$ は条件を満たしています。

次に、判別式 $D = b^2 - 4ac$ を計算します。

$D = (-5)^2 - 4(1)(k) = 25 - 4k$

解がすべての実数であるためには、$D < 0$ である必要があります。

したがって、$25 - 4k < 0$ を解きます。

$25 - 4k < 0$

$25 < 4k$

$4k > 25$

$k > \frac{25}{4}$

3. 最終的な答え

$k > \frac{25}{4}$