$\sqrt[3]{3}$, $\sqrt[4]{9}$, $\sqrt[5]{27}$ を小さい順に並べよ。

1. 問題の内容

$\sqrt[3]{3}$, $\sqrt[4]{9}$, $\sqrt[5]{27}$ を小さい順に並べよ。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの数を指数表示に変換します。

$\sqrt[3]{3} = 3^{\frac{1}{3}}$

$\sqrt[4]{9} = \sqrt[4]{3^2} = 3^{\frac{2}{4}} = 3^{\frac{1}{2}}$

$\sqrt[5]{27} = \sqrt[5]{3^3} = 3^{\frac{3}{5}}$

次に、指数部分の分母を揃えます。3, 2, 5 の最小公倍数は 30 なので、それぞれの数を $3^{\frac{a}{30}}$ の形に変形します。

$3^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{10}{30}}$

$3^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{15}{30}}$

$3^{\frac{3}{5}} = 3^{\frac{18}{30}}$

指数部分を比較すると $\frac{10}{30} < \frac{15}{30} < \frac{18}{30}$ となります。

したがって、$3^{\frac{10}{30}} < 3^{\frac{15}{30}} < 3^{\frac{18}{30}}$ となり、元の数に戻すと $\sqrt[3]{3} < \sqrt[4]{9} < \sqrt[5]{27}$ となります。

3. 最終的な答え

$\sqrt[3]{3}, \sqrt[4]{9}, \sqrt[5]{27}$