$z = f(r, \theta)$ を $r, \theta$ の全微分可能な関数とする。ここで、$r = \sqrt{x^2 + y^2}$ かつ $\theta = \arctan(\frac{y}{x})$ である。 (1) $z_x, z_y$ を $z_r, z_\theta, x, y$ を用いて表す。 (2) 逆行列を用いて、$z_r, z_\theta$ を $z_x, z_y, x, y$ を用いて表す。

1. 問題の内容

$z = f(r, \theta)$ を $r, \theta$ の全微分可能な関数とする。ここで、$r = \sqrt{x^2 + y^2}$ かつ $\theta = \arctan(\frac{y}{x})$ である。

(1) $z_x, z_y$ を $z_r, z_\theta, x, y$ を用いて表す。

(2) 逆行列を用いて、$z_r, z_\theta$ を $z_x, z_y, x, y$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$z_x$ と $z_y$ を $z_r$ と $z_\theta$ を用いて表すことを考える。連鎖律より、

$z_x = \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial r} \frac{\partial r}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial \theta} \frac{\partial \theta}{\partial x} = z_r \frac{\partial r}{\partial x} + z_\theta \frac{\partial \theta}{\partial x}$

$z_y = \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial r} \frac{\partial r}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial \theta} \frac{\partial \theta}{\partial y} = z_r \frac{\partial r}{\partial y} + z_\theta \frac{\partial \theta}{\partial y}$

次に、$\frac{\partial r}{\partial x}, \frac{\partial r}{\partial y}, \frac{\partial \theta}{\partial x}, \frac{\partial \theta}{\partial y}$ を計算する。

$r = \sqrt{x^2 + y^2}$ なので、

$\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$

$\frac{\partial r}{\partial y} = \frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}} \cdot 2y = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$

$\theta = \arctan(\frac{y}{x})$ なので、

$\frac{\partial \theta}{\partial x} = \frac{1}{1+(\frac{y}{x})^2} \cdot (-\frac{y}{x^2}) = \frac{x^2}{x^2+y^2} \cdot (-\frac{y}{x^2}) = -\frac{y}{x^2+y^2}$

$\frac{\partial \theta}{\partial y} = \frac{1}{1+(\frac{y}{x})^2} \cdot (\frac{1}{x}) = \frac{x^2}{x^2+y^2} \cdot (\frac{1}{x}) = \frac{x}{x^2+y^2}$

したがって、

$z_x = z_r (\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}) + z_\theta (-\frac{y}{x^2+y^2})$

$z_y = z_r (\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}) + z_\theta (\frac{x}{x^2+y^2})$

よって、

$(z_x, z_y) = (z_r, z_\theta) \begin{pmatrix} \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} & \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \\ -\frac{y}{x^2+y^2} & \frac{x}{x^2+y^2} \end{pmatrix}$

したがって、

(1) $\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$

(2) $\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$

(3) $-\frac{y}{x^2+y^2}$

(4) $\frac{x}{x^2+y^2}$

(2)

(1)の行列を $A$ とすると、

$A = \begin{pmatrix} \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} & \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \\ -\frac{y}{x^2+y^2} & \frac{x}{x^2+y^2} \end{pmatrix}$

$A$ の行列式は、$\det(A) = \frac{x^2}{(x^2+y^2)^{3/2}} + \frac{y^2}{(x^2+y^2)^{3/2}} = \frac{x^2+y^2}{(x^2+y^2)^{3/2}} = \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}$

$A$ の逆行列は、

$A^{-1} = \sqrt{x^2+y^2} \begin{pmatrix} \frac{x}{x^2+y^2} & -\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \\ \frac{y}{x^2+y^2} & \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} & -\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \\ \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} & \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \end{pmatrix}$

したがって、

$(z_r, z_\theta) = (z_x, z_y) \begin{pmatrix} \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} & -\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \\ \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} & \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \end{pmatrix}$

(5) $\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$

(6) $\frac{-y}{\sqrt{x^2+y^2}}$

(7) $\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$

(8) $\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$, $\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$, $-\frac{y}{x^2+y^2}$, $\frac{x}{x^2+y^2}$

(2) $\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$, $-\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$, $\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$, $\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$