与えられた級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^2}{(2n)!}x^{2n-1}$ の収束半径を求めます。

1. 問題の内容

与えられた級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^2}{(2n)!}x^{2n-1}$ の収束半径を求めます。

2. 解き方の手順

収束半径 $R$ を求めるには、比判定法を使用します。$a_n = \frac{(n!)^2}{(2n)!}x^{2n-1}$ とおきます。

$$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{\frac{((n+1)!)^2}{(2(n+1))!}x^{2(n+1)-1}}{\frac{(n!)^2}{(2n)!}x^{2n-1}} \right|$$

$$= \lim_{n \to \infty} \left| \frac{((n+1)!)^2 (2n)!}{(2n+2)! (n!)^2} \frac{x^{2n+1}}{x^{2n-1}} \right|$$

$$= \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(n+1)^2 (n!)^2 (2n)!}{(2n+2)(2n+1)(2n)! (n!)^2} x^2 \right|$$

$$= \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)} x^2 \right|$$

$$= \lim_{n \to \infty} \left| \frac{n^2 + 2n + 1}{4n^2 + 6n + 2} x^2 \right|$$

$$= \lim_{n \to \infty} \left| \frac{1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}}{4 + \frac{6}{n} + \frac{2}{n^2}} x^2 \right|$$

$$= \left| \frac{1}{4} x^2 \right| = \frac{|x^2|}{4}$$

級数が収束するためには、$\frac{|x^2|}{4} < 1$ である必要があります。つまり、 $|x^2| < 4$ であり、$|x| < 2$ となります。したがって、収束半径は $R = 2$ です。

3. 最終的な答え

収束半径は 2 です。