定積分 $I_n = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{(\cos x)^n}$ (n = 0, ±1, ±2, ...) について、以下の問いに答える。 (1) $I_0$, $I_{-1}$, $I_2$ を求める。 (2) $I_1$ を求める。 (3) 部分積分法を用いて、$nI_n - (n+1)I_{n+2} + (\sqrt{2})^n = 0$ が整数 $n$ に対して成り立つことを示す。 (4) $I_{-3}$, $I_{-2}$, $I_3$ を求める。 (5) 定積分 $\int_0^1 \sqrt{x^2+1} dx$ および $\int_0^1 \frac{dx}{(x^2+1)^2}$ を求める。

1. 問題の内容

定積分 $I_n = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{(\cos x)^n}$ (n = 0, ±1, ±2, ...) について、以下の問いに答える。

(1) $I_0$, $I_{-1}$, $I_2$ を求める。

(2) $I_1$ を求める。

(3) 部分積分法を用いて、$nI_n - (n+1)I_{n+2} + (\sqrt{2})^n = 0$ が整数 $n$ に対して成り立つことを示す。

(4) $I_{-3}$, $I_{-2}$, $I_3$ を求める。

(5) 定積分 $\int_0^1 \sqrt{x^2+1} dx$ および $\int_0^1 \frac{dx}{(x^2+1)^2}$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$I_0 = \int_0^{\frac{\pi}{4}} dx = [x]_0^{\frac{\pi}{4}} = \frac{\pi}{4}$

$I_{-1} = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos x dx = [\sin x]_0^{\frac{\pi}{4}} = \sin(\frac{\pi}{4}) - \sin(0) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$I_2 = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{(\cos x)^2} = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sec^2 x dx = [\tan x]_0^{\frac{\pi}{4}} = \tan(\frac{\pi}{4}) - \tan(0) = 1$

(2)

$I_1 = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\cos x} = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos x}{\cos^2 x} dx = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos x}{1-\sin^2 x} dx$

$t = \sin x$ とおくと $dt = \cos x dx$。積分範囲は $0 \to \frac{1}{\sqrt{2}}$ となるので、

$I_1 = \int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{dt}{1-t^2} = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}} (\frac{1}{1-t} + \frac{1}{1+t}) dt = \frac{1}{2} [-\log|1-t| + \log|1+t|]_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{1}{2} [\log|\frac{1+t}{1-t}|]_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{1}{2} \log|\frac{1+\frac{1}{\sqrt{2}}}{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}| = \frac{1}{2} \log|\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}| = \frac{1}{2} \log|\frac{(\sqrt{2}+1)^2}{2-1}| = \frac{1}{2} \log(3+2\sqrt{2}) = \log(\sqrt{2}+1)$

(3)

$I_n = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{(\cos x)^n} = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{(\cos x)^n} dx = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos^2 x}{(\cos x)^n} dx + \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin^2 x}{(\cos x)^n} dx = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{(\cos x)^{n-2}} + \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin^2 x}{(\cos x)^n} dx = I_{n-2} + \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin^2 x}{(\cos x)^n} dx$

$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin^2 x}{(\cos x)^n} dx = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin x \cdot \frac{\sin x}{(\cos x)^n} dx = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin x \cdot (\frac{1}{1-n}) (\cos x)^{1-n} dx$

部分積分を行う: $u = \sin x$, $dv = (\cos x)^{-n} \sin x dx = (\cos x)^{-n} d(-\cos x)$

$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin^2 x}{(\cos x)^n} dx = [(\sin x) \frac{(\cos x)^{1-n}}{n-1}]_0^{\frac{\pi}{4}} - \int_0^{\frac{\pi}{4}} (\cos x) \frac{(\cos x)^{1-n}}{n-1} dx$

$= [\frac{\sin x}{(\cos x)^{n-1} (n-1)}]_0^{\frac{\pi}{4}} - \frac{1}{n-1} \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{(\cos x)^{n-2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\sqrt{2})^{n-1} \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n-1} I_{n-2}$

$I_n = I_{n-2} + \frac{(\sqrt{2})^{n-2}}{n-1} - \frac{I_{n-2}}{n-1}$

$(n-1)I_n = (n-1) I_{n-2} + (\sqrt{2})^{n-2} - I_{n-2}$

$(n-1)I_n = (n-2)I_{n-2} + (\sqrt{2})^{n-2}$

$nI_n = (n-1)I_{n-2} + (\sqrt{2})^{n-2}$

ここで、$n \to n+2$ とすると $(n+2)I_{n+2} = (n+1)I_n + (\sqrt{2})^n$ となるから、

$(n+1)I_n - (n+2)I_{n+2} + (\sqrt{2})^n = 0$

ゆえに、$nI_n - (n+1)I_{n+2} + (\sqrt{2})^n = 0$ が成り立つことを示せた。

(4)

$n = -3$ のとき、$-3I_{-3} - (-3+1)I_{-1} + (\sqrt{2})^{-3} = 0$ より $-3I_{-3} + 2I_{-1} + \frac{1}{2\sqrt{2}} = 0$

$-3I_{-3} + 2(\frac{\sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2\sqrt{2}} = 0 \Rightarrow -3I_{-3} + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{4} = 0 \Rightarrow 3I_{-3} = \frac{5\sqrt{2}}{4} \Rightarrow I_{-3} = \frac{5\sqrt{2}}{12}$

$n = -2$ のとき、$-2I_{-2} - (-2+1)I_0 + (\sqrt{2})^{-2} = 0$ より $-2I_{-2} + I_0 + \frac{1}{2} = 0$

$-2I_{-2} + \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} = 0 \Rightarrow 2I_{-2} = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \Rightarrow I_{-2} = \frac{\pi+2}{8}$

$n=1$ のとき、$I_1 - 2I_3 + \sqrt{2} = 0$ より $I_3 = \frac{I_1 + \sqrt{2}}{2} = \frac{\log(\sqrt{2}+1)+\sqrt{2}}{2}$

(5)

$\int_0^1 \sqrt{x^2+1} dx = [\frac{x}{2} \sqrt{x^2+1} + \frac{1}{2} \sinh^{-1} x]_0^1 = \frac{1}{2} \sqrt{2} + \frac{1}{2} \sinh^{-1} 1 = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \log(1+\sqrt{2})$

$\int_0^1 \frac{dx}{(x^2+1)^2} = ?$

3. 最終的な答え

(1) $I_0 = \frac{\pi}{4}$, $I_{-1} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $I_2 = 1$

(2) $I_1 = \log(\sqrt{2}+1)$

(3) $nI_n - (n+1)I_{n+2} + (\sqrt{2})^n = 0$ が整数 $n$ に対して成り立つ。

(4) $I_{-3} = \frac{5\sqrt{2}}{12}$, $I_{-2} = \frac{\pi+2}{8}$, $I_3 = \frac{\log(\sqrt{2}+1)+\sqrt{2}}{2}$

(5) $\int_0^1 \sqrt{x^2+1} dx = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \log(1+\sqrt{2})$

$\int_0^1 \frac{dx}{(x^2+1)^2} = \frac{\pi}{8} + \frac{1}{4}$