関数 $y = 2x^2 + 4x + 3$ ($0 \le x \le 1$) の最小値とそのときの $x$ の値を求めます。

## 問題9

画像の問題9について、それぞれの問題を解きます。

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1. 問題の内容

関数 $y = 2x^2 + 4x + 3$ ($0 \le x \le 1$) の最小値とそのときの $x$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$y = 2(x^2 + 2x) + 3$

$y = 2(x^2 + 2x + 1 - 1) + 3$

$y = 2((x+1)^2 - 1) + 3$

$y = 2(x+1)^2 - 2 + 3$

$y = 2(x+1)^2 + 1$

頂点の座標は $(-1, 1)$ です。定義域が $0 \le x \le 1$ であるため、頂点は定義域に含まれません。

したがって、定義域の端点で最小値または最大値を取ります。

$x = 0$ のとき $y = 2(0+1)^2 + 1 = 2 + 1 = 3$

$x = 1$ のとき $y = 2(1+1)^2 + 1 = 2(4) + 1 = 8 + 1 = 9$

$x = 0$ のときに $y=3$ であり、$x = 1$ のときに $y=9$ であるから、最小値は $3$ であり、そのときの $x$ の値は $0$ です。

3. 最終的な答え

最小値：$3$

$x$の値：$0$

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1. 問題の内容

関数 $y = x^2 - 2x - 2$ ($0 \le x \le a$) について、$0 < a < 1$ のときの最小値とそのときの $x$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$y = x^2 - 2x - 2$

$y = (x^2 - 2x + 1) - 1 - 2$

$y = (x-1)^2 - 3$

頂点の座標は $(1, -3)$ です。定義域は $0 \le x \le a$ であり、$0 < a < 1$ であるため、頂点は定義域に含まれません。

したがって、定義域の端点で最小値または最大値を取ります。

$x = 0$ のとき $y = (0-1)^2 - 3 = 1 - 3 = -2$

$x = a$ のとき $y = (a-1)^2 - 3$

$0 < a < 1$ より $a-1 < 0$ です。したがって、$x=0$ と $x=a$ における $y$ の値を比較します。

$x=0$のとき、$y=-2$

$x=a$のとき、$y=(a-1)^2 - 3$

$a < 1$より、$a-1 < 0$だから、$(a-1)^2 > 0$。したがって、

$(a-1)^2 - 3 > -3$

ここで、$y = x^2-2x-2$は下に凸のグラフであり、軸が$x=1$である。$0<a<1$なので、$x=0$の方が軸から離れている。つまり、$x=a$での値よりも$x=0$での値のほうが小さい。

最小値は $x = 0$ のときの $y = -2$ です。

3. 最終的な答え

最小値：$-2$

$x$の値：$0$

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1. 問題の内容

関数 $y = -x^2 + 2ax - 4a + 1$ ($-1 \le x \le 2$) について、$2 < a$ のときの最大値とそのときの $x$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$y = -(x^2 - 2ax) - 4a + 1$

$y = -(x^2 - 2ax + a^2 - a^2) - 4a + 1$

$y = -(x-a)^2 + a^2 - 4a + 1$

頂点の座標は $(a, a^2 - 4a + 1)$ です。定義域は $-1 \le x \le 2$ であり、$2 < a$ であるため、頂点は定義域に含まれません。

下に凸のグラフなので、頂点から遠い端点で最大値を取ります。

$x = -1$ のとき $y = -(-1)^2 + 2a(-1) - 4a + 1 = -1 - 2a - 4a + 1 = -6a$

$x = 2$ のとき $y = -(2)^2 + 2a(2) - 4a + 1 = -4 + 4a - 4a + 1 = -3$

$2 < a$ より $-6a < -12$ です。したがって、$-6a < -3$ なので、$x = -1$ のときに最大値を取ります。

最大値は $-6a$ であり、そのときの $x$ の値は $-1$ です。

3. 最終的な答え

最大値：$-6a$

$x$の値：$-1$