問題は2つの3次式を因数分解することです。 (1) $x^3 - 2x^2 - 9x + 18$ (2) $x^3 - 3x - 2$

1. 問題の内容

問題は2つの3次式を因数分解することです。

(1) $x^3 - 2x^2 - 9x + 18$

(2) $x^3 - 3x - 2$

2. 解き方の手順

(1) $x^3 - 2x^2 - 9x + 18$

この式を因数分解するために、まずは共通因数を見つけ出すことを試みます。最初の2項と最後の2項でそれぞれ共通因数でくくると、

$x^2(x - 2) - 9(x - 2)$

となります。すると、$(x - 2)$ が共通因数であることがわかるので、

$(x - 2)(x^2 - 9)$

さらに、$x^2 - 9$ は $(x - 3)(x + 3)$ と因数分解できるので、

$(x - 2)(x - 3)(x + 3)$

となります。

(2) $x^3 - 3x - 2$

この式を因数分解するために、因数定理を利用します。つまり、$P(x) = x^3 - 3x - 2$ とおき、$P(a) = 0$ となる $a$ を探します。

$P(2) = 2^3 - 3(2) - 2 = 8 - 6 - 2 = 0$

であるため、$x - 2$ は因数です。従って、$x^3 - 3x - 2$ を $x - 2$ で割ります。

筆算または組み立て除法によって、$x^3 - 3x - 2 = (x - 2)(x^2 + 2x + 1)$

$x^2 + 2x + 1$ は $(x + 1)^2$ と因数分解できるので、

$(x - 2)(x + 1)^2$

3. 最終的な答え

(1) $(x - 2)(x - 3)(x + 3)$

(2) $(x - 2)(x + 1)^2$