1から4の数字が書かれたカードがそれぞれ4枚、3枚、2枚、1枚ある。合計10枚のカードから2枚を続けて引くとき、偶数のカードを引く回数Xの確率分布を求める問題。Xは0, 1, 2のいずれかの値をとる。

1. 問題の内容

1から4の数字が書かれたカードがそれぞれ4枚、3枚、2枚、1枚ある。合計10枚のカードから2枚を続けて引くとき、偶数のカードを引く回数Xの確率分布を求める問題。Xは0, 1, 2のいずれかの値をとる。

2. 解き方の手順

まず、カードの構成を確認する。

* 1のカード：4枚

* 2のカード：3枚

* 3のカード：2枚

* 4のカード：1枚

合計10枚のカード。

Xは偶数のカードを引く回数なので、取りうる値は0, 1, 2である。それぞれの確率を計算する。

* X = 0 (2枚とも奇数)の場合:

10枚中、奇数のカードは1, 3合わせて4+2=6枚。

1枚目に奇数を引く確率は $\frac{6}{10}$。

1枚目に奇数を引いたとき、残りの9枚のうち奇数は5枚。

2枚目に奇数を引く確率は $\frac{5}{9}$。

したがって、X=0の確率は $P(X=0) = \frac{6}{10} \times \frac{5}{9} = \frac{30}{90} = \frac{1}{3}$。

* X = 1 (1枚だけ偶数)の場合:

1枚目に偶数、2枚目に奇数の場合と、1枚目に奇数、2枚目に偶数の場合がある。

1枚目に偶数、2枚目に奇数の確率は、$\frac{4}{10} \times \frac{6}{9} = \frac{24}{90}$。

1枚目に奇数、2枚目に偶数の確率は、$\frac{6}{10} \times \frac{4}{9} = \frac{24}{90}$。

したがって、X=1の確率は $P(X=1) = \frac{24}{90} + \frac{24}{90} = \frac{48}{90} = \frac{8}{15}$。

* X = 2 (2枚とも偶数)の場合:

10枚中、偶数のカードは2, 4合わせて3+1=4枚。

1枚目に偶数を引く確率は $\frac{4}{10}$。

1枚目に偶数を引いたとき、残りの9枚のうち偶数は3枚。

2枚目に偶数を引く確率は $\frac{3}{9}$。

したがって、X=2の確率は $P(X=2) = \frac{4}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{12}{90} = \frac{2}{15}$。

確率の合計を確認する：$\frac{1}{3} + \frac{8}{15} + \frac{2}{15} = \frac{5}{15} + \frac{8}{15} + \frac{2}{15} = \frac{15}{15} = 1$。

3. 最終的な答え

X | 0 | 1 | 2 | 計

--|-----|------|------|----

P | 1/3 | 8/15 | 2/15 | 1