画像に掲載されている数学の問題のうち、問6の(1)から(6)までと、問8、問9を解く。 問6：次の方程式、不等式を解け。ただし、$a$は定数とする。 (1) $-2x-1 < x+5 < \frac{1+4x}{2}$ (2) $|6x-1| > 1$ (3) $|x-1|-2|=3$ (4) $ax+1 > x+a^2$ (5) $|x-3| < 4x$ (6) $|x|+2x-2 = 2x$ 問8：$a,b$を定数とするとき、$x$についての不等式 $|ax-b-7| < 3$を考える。 (1) $a = -3, b = -2$とし、(*)を満たす整数全体の集合を$P$とする。この集合$P$を、要素を書き並べて表すと$P = \{\ ア, イ\}$。ただし、ア、イの解答の順序は問わない。 (2) $a = \frac{1}{\sqrt{3}}$とする。 (1) $b = -1$のとき、(*)を満たす整数は全部でウ個である。 (2) (*)を満たす整数が全部で(ケ + 1)個であるような正の整数のうち、最小のものはエである。

1. 問題の内容

画像に掲載されている数学の問題のうち、問6の(1)から(6)までと、問8、問9を解く。

問6：次の方程式、不等式を解け。ただし、$a$は定数とする。

(1) $-2x-1 < x+5 < \frac{1+4x}{2}$

(2) $|6x-1| > 1$

(3) $|x-1|-2|=3$

(4) $ax+1 > x+a^2$

(5) $|x-3| < 4x$

(6) $|x|+2x-2 = 2x$

問8：$a,b$を定数とするとき、$x$についての不等式 $|ax-b-7| < 3$を考える。

(1) $a = -3, b = -2$とし、(*)を満たす整数全体の集合を$P$とする。この集合$P$を、要素を書き並べて表すと$P = \{\ ア, イ\}$。ただし、ア、イの解答の順序は問わない。

(2) $a = \frac{1}{\sqrt{3}}$とする。

(1) $b = -1$のとき、(*)を満たす整数は全部でウ個である。

(2) (*)を満たす整数が全部で(ケ + 1)個であるような正の整数のうち、最小のものはエである。

2. 解き方の手順

問6：

(1) $-2x-1 < x+5$と$x+5 < \frac{1+4x}{2}$をそれぞれ解く。

$-2x-1 < x+5$より、$-3x < 6$よって$x > -2$。

$x+5 < \frac{1+4x}{2}$より、$2x+10 < 1+4x$よって$-2x < -9$だから$x > \frac{9}{2} = 4.5$。

したがって、$x > 4.5$。

(2) $|6x-1| > 1$より、$6x-1 > 1$または$6x-1 < -1$。

$6x-1 > 1$より、$6x > 2$よって$x > \frac{1}{3}$。

$6x-1 < -1$より、$6x < 0$よって$x < 0$。

したがって、$x < 0$または$x > \frac{1}{3}$。

(3) $|x-1|-2 = 3$または$|x-1|-2 = -3$。

$|x-1|-2 = 3$より、$|x-1| = 5$だから、$x-1 = 5$または$x-1 = -5$。よって$x = 6$または$x = -4$。

$|x-1|-2 = -3$より、$|x-1| = -1$となり、これは解なし。

したがって、$x = 6$または$x = -4$。

(4) $ax+1 > x+a^2$より、$(a-1)x > a^2-1$。

$a > 1$のとき、$x > a+1$。

$a < 1$のとき、$x < a+1$。

$a = 1$のとき、$0 > 0$となるので解なし。

(5) $|x-3| < 4x$より、$-4x < x-3 < 4x$。

$-4x < x-3$より、$3 < 5x$だから$x > \frac{3}{5}$。

$x-3 < 4x$より、$-3 < 3x$だから$x > -1$。

$x > \frac{3}{5} > 0$より、$x>0$が必要。よって$x > \frac{3}{5}$。

(6) $|x|+2x-2 = 2x$より、$|x| = 2$だから、$x = 2$または$x = -2$。

問8：

(1) $|ax-b-7| < 3$に$a = -3, b = -2$を代入すると、$|-3x+2-7| < 3$、すなわち$|-3x-5| < 3$。

$-3 < -3x-5 < 3$より、$2 < -3x < 8$だから$-\frac{8}{3} < x < -\frac{2}{3}$。

$-\frac{8}{3} = -2.66\dots$, $-\frac{2}{3} = -0.66\dots$。

よって、整数$x$は$-2, -1$。

したがって、$P = \{-2, -1\}$。

(2) (1) $|ax-b-7| < 3$に$a = \frac{1}{\sqrt{3}}, b = -1$を代入すると、$|\frac{1}{\sqrt{3}}x+1-7| < 3$、すなわち$|\frac{1}{\sqrt{3}}x-6| < 3$。

$-3 < \frac{1}{\sqrt{3}}x-6 < 3$より、$3 < \frac{1}{\sqrt{3}}x < 9$だから$3\sqrt{3} < x < 9\sqrt{3}$。

$3\sqrt{3} \approx 3 \cdot 1.732 = 5.196$, $9\sqrt{3} \approx 9 \cdot 1.732 = 15.588$。

よって、整数$x$は$6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15$の10個。

したがって、ウは10。

(2) $|ax-b-7| < 3$より、$| \frac{1}{\sqrt{3}}x-b-7| < 3$だから、$-3 < \frac{1}{\sqrt{3}}x - b - 7 < 3$。

よって、$b+4 < \frac{1}{\sqrt{3}}x < b+10$となり、$\sqrt{3}(b+4) < x < \sqrt{3}(b+10)$。

整数がケ + 1個なので、$\sqrt{3}(b+10) - \sqrt{3}(b+4) = 6\sqrt{3} \approx 6 \cdot 1.732 = 10.392$。区間の長さが10.392で整数がケ+1個。

$x$が整数で、$\sqrt{3}(b+4)$が小さい整数となるようにする。ケ + 1 = 1なら、$\sqrt{3}(b+4) < x < \sqrt{3}(b+10)$で整数が1個。

このとき$\sqrt{3}(b+10) - \sqrt{3}(b+4) < 1$だと整数が0個なので、区間内に整数を含む必要があり、かつ最小にしたいから、

$b = -3$なら、$\sqrt{3} < x < 7\sqrt{3}$で、$1.7 < x < 12.1$だから整数が11個。

ケ+1個の整数が存在するためには、$x$の区間の長さがケ以上である必要がある。

$|\frac{x}{\sqrt{3}} - (b+7)| < 3$より、$b+4 < \frac{x}{\sqrt{3}} < b+10$。

この$x$の区間に整数が(ケ+1)個存在するという条件から$b$を求める。

区間$\sqrt{3}(b+4) < x < \sqrt{3}(b+10)$の幅は$6\sqrt{3}$であり、これは約10.392である。

したがって、$b$の値を調整して、整数$x$が(ケ+1)個になるようにする。

まず、$b$が整数の場合に考察する。

3. 最終的な答え

問6：

(1) $x > \frac{9}{2}$

(2) $x < 0$ または $x > \frac{1}{3}$

(3) $x = 6, -4$

(4) $a > 1$のとき$x > a+1$, $a < 1$のとき$x < a+1$, $a = 1$のとき解なし

(5) $x > \frac{3}{5}$

(6) $x = 2, -2$

問8：

(1) $P = \{-2, -1\}$

(2) (1) ウ = 10

(2) これはまだ解けません。