$x$ の方程式 $|x^2 - 1| = k$ の実数解の個数を、$k$ の値によって分類せよ。

1. 問題の内容

$x$ の方程式 $|x^2 - 1| = k$ の実数解の個数を、$k$ の値によって分類せよ。

2. 解き方の手順

まず、$y = |x^2 - 1|$ のグラフを描き、次に $y = k$ のグラフを描きます。そして、これらのグラフの交点の個数を、$k$ の値によって分類します。

$y = x^2 - 1$ のグラフは、下に凸の放物線で、$x$ 切片は $x = \pm 1$、$y$ 切片は $y = -1$ です。

したがって、$y = |x^2 - 1|$ のグラフは、$y = x^2 - 1$ のグラフの $y < 0$ の部分を $x$ 軸に関して対称に折り返したものです。

具体的には、

- $x \le -1$ のとき、$y = x^2 - 1$

- $-1 \le x \le 1$ のとき、$y = -(x^2 - 1) = 1 - x^2$

- $x \ge 1$ のとき、$y = x^2 - 1$

となります。

$y = |x^2 - 1|$ は $x = 0$ で $y = 1$ となり、$x = \pm 1$ で $y = 0$ となります。

次に、$y = k$ のグラフを描きます。これは、$x$ 軸に平行な直線です。

$y = |x^2 - 1|$ のグラフと $y = k$ のグラフの交点の個数を数えます。

- $k < 0$ のとき、交点は存在しません。

- $k = 0$ のとき、交点は $x = \pm 1$ の2個です。

- $0 < k < 1$ のとき、交点は4個です。

- $k = 1$ のとき、交点は3個です。

- $k > 1$ のとき、交点は2個です。

3. 最終的な答え

- $k < 0$ のとき、実数解は 0 個。

- $k = 0$ のとき、実数解は 2 個。

- $0 < k < 1$ のとき、実数解は 4 個。

- $k = 1$ のとき、実数解は 3 個。

- $k > 1$ のとき、実数解は 2 個。