関数 $f(x) = \frac{ax - 4}{x + 3}$ と $g(x) = \frac{3x + 4}{bx + 2}$ について、合成関数 $(g \circ f)(x) = x$ が成り立つような定数 $a$ と $b$ の値を求める問題です。ただし、$a \neq -\frac{4}{3}$ かつ $b \neq \frac{3}{2}$とします。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{ax - 4}{x + 3}$ と $g(x) = \frac{3x + 4}{bx + 2}$ について、合成関数 $(g \circ f)(x) = x$ が成り立つような定数 $a$ と $b$ の値を求める問題です。ただし、$a \neq -\frac{4}{3}$ かつ $b \neq \frac{3}{2}$とします。

2. 解き方の手順

まず、合成関数 $(g \circ f)(x)$ を計算します。

$(g \circ f)(x) = g(f(x))$ であるので、 $g(x)$ の $x$ に $f(x)$ を代入します。

$g(f(x)) = \frac{3(\frac{ax - 4}{x + 3}) + 4}{b(\frac{ax - 4}{x + 3}) + 2}$

分母と分子に $(x + 3)$ を掛けて、式を整理します。

$g(f(x)) = \frac{3(ax - 4) + 4(x + 3)}{b(ax - 4) + 2(x + 3)} = \frac{3ax - 12 + 4x + 12}{abx - 4b + 2x + 6} = \frac{(3a + 4)x}{(ab + 2)x + (6 - 4b)}$

条件より $(g \circ f)(x) = x$ であるので、

$\frac{(3a + 4)x}{(ab + 2)x + (6 - 4b)} = x$

両辺に $(ab + 2)x + (6 - 4b)$ を掛けて、

$(3a + 4)x = x((ab + 2)x + (6 - 4b))$

$(3a + 4)x = (ab + 2)x^2 + (6 - 4b)x$

この等式が全ての $x$ について成り立つためには、

$x^2$ の係数が $0$ である必要があるので、$ab + 2 = 0$

$x$ の係数が等しい必要があるので、$3a + 4 = 6 - 4b$

これらの2つの式から $a$ と $b$ の値を求めます。

$ab = -2$ より $b = -\frac{2}{a}$

これを $3a + 4 = 6 - 4b$ に代入すると、

$3a + 4 = 6 - 4(-\frac{2}{a})$

$3a + 4 = 6 + \frac{8}{a}$

両辺に $a$ を掛けて整理すると、

$3a^2 + 4a = 6a + 8$

$3a^2 - 2a - 8 = 0$

$(3a + 4)(a - 2) = 0$

$a = -\frac{4}{3}$ または $a = 2$

ただし、$a \neq -\frac{4}{3}$ より、$a = 2$

$a = 2$ を $b = -\frac{2}{a}$ に代入すると、$b = -\frac{2}{2} = -1$

3. 最終的な答え

$a = 2$

$b = -1$