$g(x) = -x + 1$ とする。 $(f \circ f)(x) = x$ かつ $(f \circ g)(x) = (g \circ f)(x)$ を満たす1次関数 $f(x)$ を求める。

1. 問題の内容

$g(x) = -x + 1$ とする。

$(f \circ f)(x) = x$ かつ $(f \circ g)(x) = (g \circ f)(x)$ を満たす1次関数 $f(x)$ を求める。

2. 解き方の手順

$f(x)$ を1次関数なので $f(x) = ax + b$ とおく。

まず、$(f \circ f)(x) = x$ より、

$f(f(x)) = f(ax+b) = a(ax+b) + b = a^2x + ab + b = x$

これが任意の $x$ で成り立つためには、

$a^2 = 1$ かつ $ab + b = 0$ である必要がある。

$a^2 = 1$ より $a = 1$ または $a = -1$ である。

(i) $a = 1$ のとき、$ab+b = b + b = 2b = 0$ より $b = 0$ となる。

よって $f(x) = x$ となる。

(ii) $a = -1$ のとき、$ab+b = -b + b = 0$ となり、$b$ は任意の実数となる。

よって $f(x) = -x + b$ となる。

次に $(f \circ g)(x) = (g \circ f)(x)$ を検討する。

$f(g(x)) = f(-x+1) = a(-x+1) + b = -ax + a + b$

$g(f(x)) = g(ax+b) = -(ax+b) + 1 = -ax - b + 1$

したがって、$-ax + a + b = -ax - b + 1$

$a + b = -b + 1$

$a + 2b = 1$

(i) $a = 1$ のとき、$1 + 2b = 1$ より $2b = 0$ となり $b = 0$

$f(x) = x$

(ii) $a = -1$ のとき、$-1 + 2b = 1$ より $2b = 2$ となり $b = 1$

$f(x) = -x + 1$

したがって、求める1次関数は $f(x) = x$ または $f(x) = -x + 1$

3. 最終的な答え

$f(x) = x$ または $f(x) = -x + 1$