以下の極限を求める問題です。 $\lim_{x \to -1} \frac{x+1}{x^3 - x^2 - x + 1}$

1. 問題の内容

以下の極限を求める問題です。

$\lim_{x \to -1} \frac{x+1}{x^3 - x^2 - x + 1}$

2. 解き方の手順

まず、分母を因数分解します。

$x^3 - x^2 - x + 1 = x^2(x-1) - (x-1) = (x^2-1)(x-1) = (x-1)(x+1)(x-1) = (x-1)^2(x+1)$

したがって、極限は次のようになります。

$\lim_{x \to -1} \frac{x+1}{(x-1)^2(x+1)}$

$x \neq -1$ のとき、$x+1$ で約分できます。

$\lim_{x \to -1} \frac{1}{(x-1)^2}$

$x$ を $-1$ に近づけると、$x-1$ は $-2$ に近づきます。

したがって、$(x-1)^2$ は $(-2)^2 = 4$ に近づきます。

$\lim_{x \to -1} \frac{1}{(x-1)^2} = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{4}$