(1) 行列式 $\begin{vmatrix} a & a^2 & b+c \\ b & b^2 & c+a \\ c & c^2 & a+b \end{vmatrix}$ を因数分解しなさい。 (2) 方程式 $\begin{vmatrix} x-1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & x-1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & x-1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & x-1 \end{vmatrix} = 0$ を解きなさい。

1. 問題の内容

(1) 行列式 $\begin{vmatrix} a & a^2 & b+c \\ b & b^2 & c+a \\ c & c^2 & a+b \end{vmatrix}$ を因数分解しなさい。

(2) 方程式 $\begin{vmatrix} x-1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & x-1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & x-1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & x-1 \end{vmatrix} = 0$ を解きなさい。

2. 解き方の手順

(1)

まず、行列式を変形して計算しやすくします。第3列を第1列と第2列の和で表します。

$\begin{vmatrix} a & a^2 & b+c \\ b & b^2 & c+a \\ c & c^2 & a+b \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & a^2 & a+b+c \\ b & b^2 & a+b+c \\ c & c^2 & a+b+c \end{vmatrix}$

第3列から $(a+b+c)$ をくくり出すと、

$=(a+b+c)\begin{vmatrix} a & a^2 & 1 \\ b & b^2 & 1 \\ c & c^2 & 1 \end{vmatrix}$

次に、第2行から第1行を、第3行から第1行を引きます。

$=(a+b+c)\begin{vmatrix} a & a^2 & 1 \\ b-a & b^2-a^2 & 0 \\ c-a & c^2-a^2 & 0 \end{vmatrix}$

$=(a+b+c)\begin{vmatrix} b-a & b^2-a^2 \\ c-a & c^2-a^2 \end{vmatrix}$

$=(a+b+c)((b-a)(c^2-a^2) - (c-a)(b^2-a^2))$

$=(a+b+c)(b-a)(c-a)(c+a) - (a+b+c)(c-a)(b-a)(b+a)$

$=(a+b+c)(b-a)(c-a)(c+a - b - a)$

$=(a+b+c)(b-a)(c-a)(c-b)$

$=(a+b+c)(-(a-b))(-(a-c))(c-b)$

$=(a+b+c)(a-b)(a-c)(c-b)$

$=(a+b+c)(a-b)(a-c)(-(b-c))$

$= -(a+b+c)(a-b)(a-c)(b-c)$

$= (a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a)$

(2)

行列式を計算する。まず、第1行に第2行と第3行と第4行を足す。

$\begin{vmatrix} x+1 & x+1 & x+1 & x+1 \\ 1 & x-1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & x-1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & x-1 \end{vmatrix} = 0$

第1行から $x+1$ をくくり出す。

$(x+1)\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & x-1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & x-1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & x-1 \end{vmatrix} = 0$

第2行から第1行を、第3行から第1行を引く。

$(x+1)\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & x-2 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & x-2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & x-1 \end{vmatrix} = 0$

第1列について余因子展開する。

$(x+1)\begin{vmatrix} x-2 & -1 & 0 \\ -1 & x-2 & 0 \\ 1 & 1 & x-1 \end{vmatrix} = 0$

第3列について余因子展開する。

$(x+1)(x-1)\begin{vmatrix} x-2 & -1 \\ -1 & x-2 \end{vmatrix} = 0$

$(x+1)(x-1)((x-2)^2 - 1) = 0$

$(x+1)(x-1)(x^2 - 4x + 4 - 1) = 0$

$(x+1)(x-1)(x^2 - 4x + 3) = 0$

$(x+1)(x-1)(x-1)(x-3) = 0$

$(x+1)(x-1)^2(x-3) = 0$

したがって、$x=-1, 1, 3$

3. 最終的な答え

(1) $(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a)$

(2) $x = -1, 1, 3$