以下の4つの問題を解きます。 [3] $x = \frac{2}{\sqrt{2} + \sqrt{3}}$、 $y = \frac{2}{\sqrt{2} - \sqrt{3}}$のとき、$x+y$と$xy$の値を求めます。 [4] 不等式 $0.4 < 0.1x + 1 < \frac{x}{2} + \frac{7}{5}$を解き、$x$の範囲を求めます。 [5] 方程式 $|x+2| = 5$を解き、$x$の値を求めます。 [6] $m, n$は実数とします。$mn = 0$であることは、$m=0$であるための必要条件、十分条件のどれであるかを答えます。

1. 問題の内容

以下の4つの問題を解きます。

[3] $x = \frac{2}{\sqrt{2} + \sqrt{3}}$、 $y = \frac{2}{\sqrt{2} - \sqrt{3}}$のとき、$x+y$と$xy$の値を求めます。

[4] 不等式 $0.4 < 0.1x + 1 < \frac{x}{2} + \frac{7}{5}$を解き、$x$の範囲を求めます。

[5] 方程式 $|x+2| = 5$を解き、$x$の値を求めます。

[6] $m, n$は実数とします。$mn = 0$であることは、$m=0$であるための必要条件、十分条件のどれであるかを答えます。

2. 解き方の手順

[3]

$x = \frac{2}{\sqrt{2} + \sqrt{3}}$と$y = \frac{2}{\sqrt{2} - \sqrt{3}}$を通分して計算します。

$x = \frac{2(\sqrt{2} - \sqrt{3})}{(\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} - \sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{2} - \sqrt{3})}{2 - 3} = -2(\sqrt{2} - \sqrt{3}) = -2\sqrt{2} + 2\sqrt{3}$

$y = \frac{2(\sqrt{2} + \sqrt{3})}{(\sqrt{2} - \sqrt{3})(\sqrt{2} + \sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{2} + \sqrt{3})}{2 - 3} = -2(\sqrt{2} + \sqrt{3}) = -2\sqrt{2} - 2\sqrt{3}$

$x + y = (-2\sqrt{2} + 2\sqrt{3}) + (-2\sqrt{2} - 2\sqrt{3}) = -4\sqrt{2}$

$xy = (-2\sqrt{2} + 2\sqrt{3})(-2\sqrt{2} - 2\sqrt{3}) = ( -2\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{3})^2 = 4(2) - 4(3) = 8 - 12 = -4$

[4]

$0.4 < 0.1x + 1 < \frac{x}{2} + \frac{7}{5}$

まず、$0.4 < 0.1x + 1$を解きます。

$0.4 < 0.1x + 1$

$-0.6 < 0.1x$

$x > -6$

次に、$0.1x + 1 < \frac{x}{2} + \frac{7}{5}$を解きます。

$0.1x + 1 < \frac{x}{2} + 1.4$

$0.1x - 0.5x < 0.4$

$-0.4x < 0.4$

$x > -1$

したがって、$x > -1$

[5]

$|x+2| = 5$

$x+2 = 5$または$x+2 = -5$

$x = 3$または$x = -7$

[6]

$mn = 0$であることは、$m=0$であるための条件を考えます。

$mn = 0$ならば、$m=0$または$n=0$です。したがって、$m=0$は成り立ちます。

一方、$m=0$ならば、$mn = 0 \cdot n = 0$が成り立ちます。

したがって、必要十分条件です。

3. 最終的な答え

[3] $x+y = -4\sqrt{2}$、 $xy = -4$

[4] $x > -1$

[5] $x = -7, 3$

[6] 1