(1) $\sum_{k=1}^{n} 2 \cdot 3^k$ を展開して、最初のいくつかの項を求める。 (2) $\sum_{k=2}^{5} (k^3 - 8)$ を展開して、各項を求める。

1. 問題の内容

(1) $\sum_{k=1}^{n} 2 \cdot 3^k$ を展開して、最初のいくつかの項を求める。

(2) $\sum_{k=2}^{5} (k^3 - 8)$ を展開して、各項を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\sum_{k=1}^{n} 2 \cdot 3^k$ の展開

$k=1$ のとき、$2 \cdot 3^1 = 2 \cdot 3 = 6$

$k=2$ のとき、$2 \cdot 3^2 = 2 \cdot 9 = 18$

$k=3$ のとき、$2 \cdot 3^3 = 2 \cdot 27 = 54$

したがって、$\sum_{k=1}^{n} 2 \cdot 3^k = 6 + 18 + 54 + \dots + 2 \cdot 3^n$

(2) $\sum_{k=2}^{5} (k^3 - 8)$ の展開

$k=2$ のとき、$2^3 - 8 = 8 - 8 = 0$

$k=3$ のとき、$3^3 - 8 = 27 - 8 = 19$

$k=4$ のとき、$4^3 - 8 = 64 - 8 = 56$

$k=5$ のとき、$5^3 - 8 = 125 - 8 = 117$

したがって、$\sum_{k=2}^{5} (k^3 - 8) = 0 + 19 + 56 + 117$

3. 最終的な答え

(1) $6 + 18 + 54$

(2) $0 + 19 + 56 + 117$