2直線 $x=3$ と $y=2$ を漸近線とし、点 $(1, 1)$ を通る双曲線をグラフとする関数 $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ の形で表す。

1. 問題の内容

2直線 $x=3$ と $y=2$ を漸近線とし、点 $(1, 1)$ を通る双曲線をグラフとする関数 $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ の形で表す。

2. 解き方の手順

まず、漸近線が $x=3$ と $y=2$ であることから、

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y = \frac{a(x-3)+b'}{c(x-3)+d'} + 2

$$$$

と書けます。

これは、

$$$$

y = \frac{ax+b}{cx+d}

$$$$

の形に変形できるはずです。

$x=3$ が漸近線である条件から、$cx+d=0$ となる $x$ が $3$ である必要があります。よって、

$3c+d = 0$

$d = -3c$

したがって、求める関数は、

$$$$

y = \frac{ax+b}{cx-3c} = \frac{ax+b}{c(x-3)}

$$$$

の形になります。

さらに、$y$ の漸近線が $2$ であることから、$\lim_{x\to \infty} \frac{ax+b}{cx-3c} = \frac{a}{c} = 2$

よって、$a=2c$

$$$$

y = \frac{2cx+b}{c(x-3)}

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このグラフは点 $(1, 1)$ を通るので、

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1 = \frac{2c+b}{c(1-3)} = \frac{2c+b}{-2c}

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$-2c = 2c + b$

$b = -4c$

したがって、

$$$$

y = \frac{2cx-4c}{c(x-3)} = \frac{2c(x-2)}{c(x-3)} = \frac{2(x-2)}{x-3} = \frac{2x-4}{x-3}

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となります。

3. 最終的な答え

$y = \frac{2x-4}{x-3}$