この問題は、因数分解、式の値、不等式に関する問題です。具体的には、 (1) 2次式の因数分解 (2) 2変数多項式の因数分解 (3) 無理数の式で表された $x, y$ の和と積を求める (4) 不等式を解く という4つの小問から構成されています。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

この問題は、因数分解、式の値、不等式に関する問題です。具体的には、

(1) 2次式の因数分解

(2) 2変数多項式の因数分解

(3) 無理数の式で表された $x, y$ の和と積を求める

(4) 不等式を解く

という4つの小問から構成されています。

2. 解き方の手順

(1) $6x^2 - 11x - 10$ の因数分解

積が $6 \times (-10) = -60$、和が $-11$ となる2つの数を見つけます。

それは $-15$ と $4$ です。

$6x^2 - 11x - 10 = 6x^2 - 15x + 4x - 10$

$= 3x(2x - 5) + 2(2x - 5)$

$= (3x + 2)(2x - 5)$

(2) $x^2 - xy - 6y^2 - 4x + 7y + 3$ の因数分解

まず、$x^2 - xy - 6y^2$ の部分を因数分解すると、$(x-3y)(x+2y)$ となります。

与式を $(x-3y+a)(x+2y+b)$ とおいて展開すると、

$x^2 -xy -6y^2 + (a+b)x + (2a-3b)y + ab$

これが $x^2 - xy - 6y^2 - 4x + 7y + 3$ と等しいので、

$a+b=-4$

$2a-3b=7$

$ab=3$

上記の連立方程式を解くと、$a = -1, b = -3$ が得られます。

よって、$(x-3y-1)(x+2y-3)$

(3) $x = \frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$, $y = \frac{2}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}$ のとき、$x+y$ と $xy$ の値を求める。

まず、$x$ と $y$ をそれぞれ有理化します。

$x = \frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{2}-\sqrt{3})}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{2}-\sqrt{3})}{2-3} = -2(\sqrt{2}-\sqrt{3}) = -2\sqrt{2}+2\sqrt{3}$

$y = \frac{2}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{2}+\sqrt{3})}{(\sqrt{2}-\sqrt{3})(\sqrt{2}+\sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{2}+\sqrt{3})}{2-3} = \frac{2(\sqrt{2}+\sqrt{3})}{-1} = -2\sqrt{2}-2\sqrt{3}$

$x+y = (-2\sqrt{2}+2\sqrt{3}) + (-2\sqrt{2}-2\sqrt{3}) = -4\sqrt{2}$

$xy = (-2\sqrt{2}+2\sqrt{3})(-2\sqrt{2}-2\sqrt{3}) = (2\sqrt{2}-2\sqrt{3})(2\sqrt{2}+2\sqrt{3}) = (2\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{3})^2 = 8 - 12 = -4$

(4) 不等式 $0.4 < 0.1x + 1 < \frac{x}{2} + \frac{7}{5}$ を解く。

まず、$0.4 < 0.1x + 1$ を解きます。

$0.4 < 0.1x + 1$

$-0.6 < 0.1x$

$-6 < x$

次に、$0.1x + 1 < \frac{x}{2} + \frac{7}{5}$ を解きます。

$0.1x + 1 < 0.5x + 1.4$

$-0.4 < 0.4x$

$-1 < x$

最後に、$0.1x + 1 < \frac{x}{2} + \frac{7}{5}$ を解きます。

$0.1x + 1 < \frac{x}{2} + \frac{7}{5}$

$0.1x + 1 < \frac{x}{2} + 1.4$

両辺に10をかける

$x+10 < 5x + 14$

$-4 < 4x$

$-1 < x$

次に、$\frac{x}{2}+\frac{7}{5}>0.4$を計算

$\frac{x}{2}+\frac{7}{5}>0.4$

$\frac{x}{2}+\frac{7}{5}>\frac{2}{5}$

$\frac{x}{2}>-\frac{5}{5}$

$\frac{x}{2}>-1$

$x>-2$

$x > -2$

$x>-6$より、$x>-1$

$-1 < x$

$0.1x+1<\frac{x}{2}+\frac{7}{5}$

$0.1x+1<0.5x+1.4$

$-0.4<0.4x$

$-1<x$

$0.4<0.1x+1$

$-0.6<0.1x$

$-6<x$

ゆえに、$x>-1$

3. 最終的な答え

(1) $(3x + 2)(2x - 5)$

(2) $(x - 3y - 1)(x + 2y - 3)$

(3) $x+y = -4\sqrt{2}$、 $xy = -4$

(4) $x > -1$