双曲線 $y = \frac{ax + b}{cx + d}$ が、漸近線 $x = 2$, $y = 1$ を持ち、点 $(3, 2)$ を通るとき、この関数を求めよ。

1. 問題の内容

双曲線 $y = \frac{ax + b}{cx + d}$ が、漸近線 $x = 2$, $y = 1$ を持ち、点 $(3, 2)$ を通るとき、この関数を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、漸近線が $x=2$, $y=1$ であることから、$y = \frac{a(x-2) + b'}{c(x-2) + d'}$と表せると考えられます。

ここで、x = 2 が漸近線になるためには、$c(x-2) + d'$ の$c$が0であってはいけません。

また、 $y = \frac{ax + b}{cx + d}$ の漸近線は $x = -\frac{d}{c}$ と $y = \frac{a}{c}$ であるため、$-\frac{d}{c} = 2$ と $\frac{a}{c} = 1$ が成り立ちます。

したがって、$a = c$ であり、$d = -2c$ です。

よって、$y = \frac{cx + b}{cx - 2c}$ と表せることになります。$c$で割ると $y = \frac{x + \frac{b}{c}}{x - 2}$となります。

ここで、$k = \frac{b}{c}$ とおくと、$y = \frac{x + k}{x - 2}$ となります。

次に、点 $(3, 2)$ を通ることから、この座標を代入して $k$ の値を求めます。

$2 = \frac{3 + k}{3 - 2}$

$2 = 3 + k$

$k = -1$

したがって、$y = \frac{x - 1}{x - 2}$ となります。

3. 最終的な答え

$y = \frac{x - 1}{x - 2}$