問題は2つのパートに分かれています。 (1) $6x^2 - x - 12$ を因数分解すること。 (2) $a = \frac{1}{\sqrt{2}-1}$ のとき、$a^2 + \frac{1}{a^2}$ の値を求めること。 (3) 1辺の長さが2の正六角形の面積を求めること。 (4) 1辺の長さが2の正六角形の9個の対角線の長さの和が $x + 12\sqrt{3}$ となるとき、$x$ の値を求めること。

1. 問題の内容

問題は2つのパートに分かれています。

(1) $6x^2 - x - 12$ を因数分解すること。

(2) $a = \frac{1}{\sqrt{2}-1}$ のとき、$a^2 + \frac{1}{a^2}$ の値を求めること。

(3) 1辺の長さが2の正六角形の面積を求めること。

(4) 1辺の長さが2の正六角形の9個の対角線の長さの和が $x + 12\sqrt{3}$ となるとき、$x$ の値を求めること。

2. 解き方の手順

(1) 因数分解

$6x^2 - x - 12$ を因数分解します。

$6x^2 - x - 12 = (2x - 3)(3x + 4)$

(2) $a^2 + \frac{1}{a^2}$ の値を求める

$a = \frac{1}{\sqrt{2}-1} = \frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{\sqrt{2}+1}{2-1} = \sqrt{2} + 1$

$\frac{1}{a} = \sqrt{2} - 1$

$a^2 = (\sqrt{2}+1)^2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2}$

$\frac{1}{a^2} = (\sqrt{2}-1)^2 = 2 - 2\sqrt{2} + 1 = 3 - 2\sqrt{2}$

$a^2 + \frac{1}{a^2} = (3 + 2\sqrt{2}) + (3 - 2\sqrt{2}) = 6$

(3) 正六角形の面積

1辺の長さが2の正六角形は、1辺の長さが2の正三角形6個からなる。

正三角形の面積は、$\frac{\sqrt{3}}{4} \times (\text{辺の長さ})^2$ で求められる。

したがって、1つの正三角形の面積は $\frac{\sqrt{3}}{4} \times 2^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 4 = \sqrt{3}$

正六角形の面積は $6 \times \sqrt{3} = 6\sqrt{3}$

(4) 対角線の長さの和

正六角形の対角線は、短いものが6本（長さ $2\sqrt{3}$）、長いものが3本（長さ 4）ある。

したがって、9個の対角線の長さの和は、

$6 \times 2\sqrt{3} + 3 \times 4 = 12\sqrt{3} + 12$

これが $x + 12\sqrt{3}$ と等しいので、$x = 12$

3. 最終的な答え

(ア) $(2x - 3)(3x + 4)$

(イ) 6

(ウ) $6\sqrt{3}$

(エ) 12