（1）整式 $6x^2 - x - 12$ を因数分解する。 （2）$a = \frac{1}{\sqrt{2}-1}$ のとき、$a^2 + \frac{1}{a^2}$ の値を求める。 （3）1辺の長さが2の正六角形の面積を求める。 （4）1辺の長さが2の正六角形における9個の対角線の長さの和が $x + 12\sqrt{3}$ となるとき、$x$ の値を求める。

1. 問題の内容

（1）整式 $6x^2 - x - 12$ を因数分解する。

（2）$a = \frac{1}{\sqrt{2}-1}$ のとき、$a^2 + \frac{1}{a^2}$ の値を求める。

（3）1辺の長さが2の正六角形の面積を求める。

（4）1辺の長さが2の正六角形における9個の対角線の長さの和が $x + 12\sqrt{3}$ となるとき、$x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

（1）因数分解：

$6x^2 - x - 12$ を因数分解する。これは $6x^2 - x - 12 = (2x - 3)(3x + 4)$ となる。

（2）$a$ の値を整理し、$a^2$ と $\frac{1}{a^2}$ を求める：

$a = \frac{1}{\sqrt{2}-1}$ の分母を有理化すると、

$a = \frac{1}{\sqrt{2}-1} \times \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1} = \frac{\sqrt{2}+1}{2-1} = \sqrt{2}+1$

$a^2 = (\sqrt{2}+1)^2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2}$

$\frac{1}{a} = \sqrt{2} - 1$ だから、$\frac{1}{a^2} = (\sqrt{2}-1)^2 = 2 - 2\sqrt{2} + 1 = 3 - 2\sqrt{2}$

$a^2 + \frac{1}{a^2} = (3 + 2\sqrt{2}) + (3 - 2\sqrt{2}) = 6$

（3）正六角形の面積を求める：

1辺の長さが2の正六角形は、1辺の長さが2の正三角形6つに分割できる。

1つの正三角形の面積は $\frac{\sqrt{3}}{4} \times 2^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 4 = \sqrt{3}$

正六角形の面積は $6 \times \sqrt{3} = 6\sqrt{3}$

（4）正六角形の対角線の長さを求める：

正六角形には3種類の対角線がある。

短い対角線（辺を挟む頂点）：長さは $2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times 2 = 2\sqrt{3}$。本数は6本。

長い対角線（2つの辺を挟む頂点）：長さは $2 \times 2 = 4$ 。本数は3本。

9個の対角線の長さの和は $6 \times \sqrt{3}$ + $3 \times 2 = 6\sqrt{3}$ 。

正六角形の対角線は全部で $\frac{6(6-3)}{2} = 9$ 本である。

短い対角線は6本あり、長さは $2\sqrt{3}$ 。

長い対角線は3本あり、長さは4。

よって、対角線の長さの和は $6 \times 2\sqrt{3} + 3 \times 2 = 12\sqrt{3} + 6$ 。

対角線の長さの和は、$x + 12\sqrt{3}$ と表せるので、$x + 12\sqrt{3} = 6 + 12\sqrt{3}$。

よって、$x = 6$

3. 最終的な答え

（ア）$(2x - 3)(3x + 4)$

（イ）$6$

（ウ）$6\sqrt{3}$

（エ）$6$