与えられた複素数の計算を行い、$a+bi$ の形で表す。具体的には以下の4つの計算を行う。 (1) $\frac{1}{2+i}$ (2) $\frac{1+i}{1+2i}$ (3) $\frac{1-2i}{2-3i}$ (4) $\frac{2}{1-i}$

1. 問題の内容

与えられた複素数の計算を行い、$a+bi$ の形で表す。具体的には以下の4つの計算を行う。

(1) $\frac{1}{2+i}$

(2) $\frac{1+i}{1+2i}$

(3) $\frac{1-2i}{2-3i}$

(4) $\frac{2}{1-i}$

2. 解き方の手順

各複素数の分母にその共役複素数をかけ、分母を実数化する。

(1)

$\frac{1}{2+i} = \frac{1}{2+i} \cdot \frac{2-i}{2-i} = \frac{2-i}{4 - i^2} = \frac{2-i}{4 - (-1)} = \frac{2-i}{5} = \frac{2}{5} - \frac{1}{5}i$

(2)

$\frac{1+i}{1+2i} = \frac{1+i}{1+2i} \cdot \frac{1-2i}{1-2i} = \frac{(1+i)(1-2i)}{1-4i^2} = \frac{1 - 2i + i - 2i^2}{1-4(-1)} = \frac{1 - i + 2}{1+4} = \frac{3 - i}{5} = \frac{3}{5} - \frac{1}{5}i$

(3)

$\frac{1-2i}{2-3i} = \frac{1-2i}{2-3i} \cdot \frac{2+3i}{2+3i} = \frac{(1-2i)(2+3i)}{4 - 9i^2} = \frac{2 + 3i - 4i - 6i^2}{4 - 9(-1)} = \frac{2 - i + 6}{4+9} = \frac{8 - i}{13} = \frac{8}{13} - \frac{1}{13}i$

(4)

$\frac{2}{1-i} = \frac{2}{1-i} \cdot \frac{1+i}{1+i} = \frac{2(1+i)}{1 - i^2} = \frac{2(1+i)}{1-(-1)} = \frac{2(1+i)}{2} = 1+i$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{5} - \frac{1}{5}i$

(2) $\frac{3}{5} - \frac{1}{5}i$

(3) $\frac{8}{13} - \frac{1}{13}i$

(4) $1+i$