不等式 $(\frac{1}{3})^n < 0.001$ を満たす最小の整数 $n$ を求める問題です。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$、$\log_{10}3 = 0.4771$ とします。

1. 問題の内容

不等式 $(\frac{1}{3})^n < 0.001$ を満たす最小の整数 $n$ を求める問題です。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$、$\log_{10}3 = 0.4771$ とします。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式の両辺の常用対数をとります。

$\log_{10}(\frac{1}{3})^n < \log_{10}0.001$

対数の性質より、

$n \log_{10}(\frac{1}{3}) < \log_{10}10^{-3}$

$n \log_{10}3^{-1} < -3$

$-n \log_{10}3 < -3$

両辺を $-1$ で割ると不等号の向きが変わります。

$n \log_{10}3 > 3$

ここで、与えられた $\log_{10}3 = 0.4771$ を代入します。

$n(0.4771) > 3$

両辺を $0.4771$ で割ると、

$n > \frac{3}{0.4771}$

$n > 6.2879...$

$n$ は整数なので、これを満たす最小の整数は $7$ です。

3. 最終的な答え

7