$x$ の方程式 $2x^3 - 3x^2 - 12x - a = 0$ が異なる3つの実数解をもつような $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

$x$ の方程式 $2x^3 - 3x^2 - 12x - a = 0$ が異なる3つの実数解をもつような $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

$f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x$ とおくと、与えられた方程式は $f(x) = a$ と書き換えられます。この方程式が異なる3つの実数解を持つための条件は、関数 $y = f(x)$ のグラフと直線 $y = a$ が異なる3つの点で交わることです。そのため、$f(x)$ の極値を求め、グラフの概形を描く必要があります。

まず、$f(x)$ を微分します。

$f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x^2 - x - 2) = 6(x - 2)(x + 1)$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$6(x - 2)(x + 1) = 0$ より、$x = 2, -1$

次に、$x = 2$ と $x = -1$ における $f(x)$ の値を計算します。

$f(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 - 12(2) = 16 - 12 - 24 = -20$

$f(-1) = 2(-1)^3 - 3(-1)^2 - 12(-1) = -2 - 3 + 12 = 7$

したがって、$f(x)$ は $x = -1$ で極大値 $7$ を、$x = 2$ で極小値 $-20$ をとります。

$f(x) = a$ が異なる3つの実数解を持つためには、$f(x)$ の極大値と極小値の間に $a$ が存在する必要があります。つまり、$-20 < a < 7$ となります。

3. 最終的な答え

$-20 < a < 7$

選択肢１が正解です。