問題は、以下の関数について、n次導関数の表示を求める問題です。 (7) $xe^{2x}$ (8) $\frac{4}{x^2-4}$ (9) $x^2\sin x$

1. 問題の内容

問題は、以下の関数について、n次導関数の表示を求める問題です。

(7) $xe^{2x}$

(8) $\frac{4}{x^2-4}$

(9) $x^2\sin x$

2. 解き方の手順

(7) $xe^{2x}$ のn次導関数

ライプニッツの公式を用います。ライプニッツの公式は、

$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k u^{(n-k)}v^{(k)}$

です。ここで、$u = x$, $v = e^{2x}$ とすると、$u' = 1$, $u'' = u''' = \dots = 0$ であり、$v^{(k)} = 2^k e^{2x}$ となります。したがって、

$(xe^{2x})^{(n)} = {}_n C_0 x (e^{2x})^{(n)} + {}_n C_1 (x)' (e^{2x})^{(n-1)} = x 2^n e^{2x} + n 2^{n-1} e^{2x} = (2^n x + n 2^{n-1})e^{2x} = 2^{n-1}(2x+n)e^{2x}$

(8) $\frac{4}{x^2-4}$ のn次導関数

まず、部分分数分解します。

$\frac{4}{x^2-4} = \frac{4}{(x-2)(x+2)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+2}$

$4 = A(x+2) + B(x-2)$

$x = 2$ を代入すると、$4 = 4A$, $A = 1$

$x = -2$ を代入すると、$4 = -4B$, $B = -1$

したがって、$\frac{4}{x^2-4} = \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+2}$

$(\frac{1}{x-a})^{(n)} = (-1)^n \frac{n!}{(x-a)^{n+1}}$ を用いると、

$(\frac{4}{x^2-4})^{(n)} = (\frac{1}{x-2})^{(n)} - (\frac{1}{x+2})^{(n)} = (-1)^n \frac{n!}{(x-2)^{n+1}} - (-1)^n \frac{n!}{(x+2)^{n+1}} = (-1)^n n! (\frac{1}{(x-2)^{n+1}} - \frac{1}{(x+2)^{n+1}})$

(9) $x^2\sin x$ のn次導関数

ライプニッツの公式を用います。$u = x^2$, $v = \sin x$ とすると、$u' = 2x$, $u'' = 2$, $u''' = 0$, $u^{(k)} = 0$ for $k \ge 3$.

$v^{(k)}$ は、$k$を4で割った余りが0のとき $\sin x$, 1のとき $\cos x$, 2のとき $-\sin x$, 3のとき $-\cos x$ となります。

したがって、

$(x^2\sin x)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k (x^2)^{(n-k)} (\sin x)^{(k)}$

$= {}_n C_0 x^2 (\sin x)^{(n)} + {}_n C_1 2x (\sin x)^{(n-1)} + {}_n C_2 2 (\sin x)^{(n-2)}$

$(\sin x)^{(n)} = \sin (x + \frac{n\pi}{2})$ を用いると、

$(x^2 \sin x)^{(n)} = x^2 \sin (x + \frac{n\pi}{2}) + n (2x) \sin(x + \frac{(n-1)\pi}{2}) + \frac{n(n-1)}{2} 2 \sin(x + \frac{(n-2)\pi}{2})$

$= x^2 \sin (x + \frac{n\pi}{2}) + 2nx \sin (x + \frac{(n-1)\pi}{2}) + n(n-1) \sin(x + \frac{(n-2)\pi}{2})$

3. 最終的な答え

(7) $xe^{2x}$ のn次導関数: $2^{n-1}(2x+n)e^{2x}$

(8) $\frac{4}{x^2-4}$ のn次導関数: $(-1)^n n! (\frac{1}{(x-2)^{n+1}} - \frac{1}{(x+2)^{n+1}})$

(9) $x^2\sin x$ のn次導関数: $x^2 \sin (x + \frac{n\pi}{2}) + 2nx \sin (x + \frac{(n-1)\pi}{2}) + n(n-1) \sin(x + \frac{(n-2)\pi}{2})$