曲線 $y = x^2 + 2x + 1$ 上に、点 $(1, 0)$ から引かれた接線の方程式と接点の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^2 + 2x + 1$ 上に、点 $(1, 0)$ から引かれた接線の方程式と接点の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、曲線上の任意の点 $(t, t^2 + 2t + 1)$ における接線を求めます。

$y = x^2 + 2x + 1$ を $x$ で微分すると、

$\frac{dy}{dx} = 2x + 2$

したがって、点 $(t, t^2 + 2t + 1)$ における接線の傾きは $2t + 2$ となります。

この点における接線の方程式は、

$y - (t^2 + 2t + 1) = (2t + 2)(x - t)$

整理すると、

$y = (2t + 2)x - 2t^2 - 2t + t^2 + 2t + 1$

$y = (2t + 2)x - t^2 + 1$

この接線が点 $(1, 0)$ を通ることから、

$0 = (2t + 2)(1) - t^2 + 1$

$0 = 2t + 2 - t^2 + 1$

$t^2 - 2t - 3 = 0$

$(t - 3)(t + 1) = 0$

よって、$t = 3$ または $t = -1$

(i) $t = 3$ のとき、接点は $(3, 3^2 + 2\cdot3 + 1) = (3, 16)$

接線の傾きは $2\cdot3 + 2 = 8$

接線の方程式は $y = 8x - 3^2 + 1 = 8x - 8$

$y = 8x - 8$

(ii) $t = -1$ のとき、接点は $(-1, (-1)^2 + 2\cdot(-1) + 1) = (-1, 0)$

接線の傾きは $2\cdot(-1) + 2 = 0$

接線の方程式は $y = 0x - (-1)^2 + 1 = 0$

$y = 0$

3. 最終的な答え

接線の方程式が $y = 8x - 8$ のとき、接点は $(3, 16)$

接線の方程式が $y = 0$ のとき、接点は $(-1, 0)$