関数 $y = (x-1)(x^2+1)(2x-1)$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = (x-1)(x^2+1)(2x-1)$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

積の微分公式を使う。

まず、$u = x-1$, $v = x^2+1$, $w = 2x-1$ とおくと、

$y = uvw$ である。

積の微分公式は、

$\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx}vw + u\frac{dv}{dx}w + uv\frac{dw}{dx}$

である。

それぞれの微分を計算する。

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x-1) = 1$

$\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2+1) = 2x$

$\frac{dw}{dx} = \frac{d}{dx}(2x-1) = 2$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = 1(x^2+1)(2x-1) + (x-1)(2x)(2x-1) + (x-1)(x^2+1)2$

$= (x^2+1)(2x-1) + 2x(x-1)(2x-1) + 2(x-1)(x^2+1)$

$= (2x^3 - x^2 + 2x - 1) + 2x(2x^2 -3x + 1) + 2(x^3 - x^2 + x - 1)$

$= 2x^3 - x^2 + 2x - 1 + 4x^3 - 6x^2 + 2x + 2x^3 - 2x^2 + 2x - 2$

$= (2+4+2)x^3 + (-1-6-2)x^2 + (2+2+2)x + (-1-2)$

$= 8x^3 - 9x^2 + 6x - 3$

3. 最終的な答え

$8x^3 - 9x^2 + 6x - 3$