関数 $y = \sqrt{2x - 6}$ (定義域は $a \le x \le b$) の値域が $2 \le y \le 4$ となるような定数 $a, b$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = \sqrt{2x - 6}$ (定義域は $a \le x \le b$) の値域が $2 \le y \le 4$ となるような定数 $a, b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

ステップ1: 与えられた関数の式を $x$ について解く。

$y = \sqrt{2x - 6}$

$y^2 = 2x - 6$

$2x = y^2 + 6$

$x = \frac{y^2 + 6}{2}$

ステップ2: 値域の境界値に対応する $x$ の値を計算する。

$y = 2$ のとき:

$x = \frac{2^2 + 6}{2} = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$y = 4$ のとき:

$x = \frac{4^2 + 6}{2} = \frac{16 + 6}{2} = \frac{22}{2} = 11$

ステップ3: 定義域の範囲を決定する。

$y$ が $2 \le y \le 4$ の範囲にあるとき、$x$ は $5 \le x \le 11$ の範囲にある。したがって、$a = 5$ および $b = 11$ である。

3. 最終的な答え

$a = 5, b = 11$