$\sum_{k=1}^{n} (-3)^k$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} (-3)^k$ を求めよ。

2. 解き方の手順

これは初項 $-3$, 公比 $-3$ の等比数列の和である。

等比数列の和の公式は、初項を $a$, 公比を $r$, 項数を $n$ とすると、

$$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$$

である。

今回の問題では、$a = -3$, $r = -3$, 項数は $n$ であるから、

$$S_n = \frac{-3(1-(-3)^n)}{1-(-3)}$$

$$S_n = \frac{-3(1-(-3)^n)}{4}$$

$$S_n = \frac{-3 + 3(-3)^n}{4}$$

$$S_n = \frac{3(-3)^n - 3}{4}$$

3. 最終的な答え

$\frac{3(-3)^n - 3}{4}$