三角形ABCの外心Oが与えられており、$\angle BAC = 63^\circ$、$\angle ABO = 48^\circ$である。このとき、$\angle P$を求める。ここで、点Pは線分BOと線分COの交点である。

1. 問題の内容

三角形ABCの外心Oが与えられており、$\angle BAC = 63^\circ$、$\angle ABO = 48^\circ$である。このとき、$\angle P$を求める。ここで、点Pは線分BOと線分COの交点である。

2. 解き方の手順

外心は三角形の各辺の垂直二等分線の交点である。外心から各頂点までの距離は等しい。つまり、$OA = OB = OC$である。

したがって、三角形OABと三角形OBCと三角形OCAは二等辺三角形である。

$\angle ABO = 48^\circ$なので、$\angle BAO = \angle ABO = 48^\circ$である。

したがって、$\angle AOB = 180^\circ - (48^\circ + 48^\circ) = 180^\circ - 96^\circ = 84^\circ$。

$\angle BAC = 63^\circ$なので、$\angle OAC = \angle BAC - \angle BAO = 63^\circ - 48^\circ = 15^\circ$である。

したがって、$\angle OCA = \angle OAC = 15^\circ$である。

$\angle AOC = 180^\circ - (15^\circ + 15^\circ) = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$。

三角形の内角の和は180度なので、

$\angle ABC + \angle BCA + \angle BAC = 180^\circ$

$\angle ABC = \angle ABO + \angle OBC$

$\angle BCA = \angle OCA + \angle OCB$

$\angle BAC = 63^\circ$なので、$\angle ABC + \angle BCA + 63^\circ = 180^\circ$

$\angle ABC + \angle BCA = 180^\circ - 63^\circ = 117^\circ$

三角形OBCに着目すると、$OB = OC$なので、$\angle OBC = \angle OCB$である。

$\angle BOC = 360^\circ - (\angle AOB + \angle AOC) = 360^\circ - (84^\circ + 150^\circ) = 360^\circ - 234^\circ = 126^\circ$。

したがって、$\angle OBC = \angle OCB = (180^\circ - 126^\circ)/2 = 54^\circ / 2 = 27^\circ$である。

$\angle ABC = \angle ABO + \angle OBC = 48^\circ + 27^\circ = 75^\circ$

$\angle BCA = \angle OCA + \angle OCB = 15^\circ + 27^\circ = 42^\circ$

$\angle ABC + \angle BCA = 75^\circ + 42^\circ = 117^\circ$

$\angle BOC = 126^\circ$

三角形BOCの内角の和を考えると、

$\angle OBC + \angle OCB + \angle BOC = 180^\circ$

$\angle P = \angle BOC = 126^\circ$

3. 最終的な答え

126