三角形ABCにおいて、AB=7, BC=5, AC=3である。角Aの外角の二等分線と辺BCの延長との交点をDとするとき、線分BDの長さを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AB=7, BC=5, AC=3である。角Aの外角の二等分線と辺BCの延長との交点をDとするとき、線分BDの長さを求める。

2. 解き方の手順

角Aの外角の二等分線が辺BCの延長と交わる点をDとすると、外角の二等分線の性質により、以下の関係が成り立つ。

$AB:AC = BD:CD$

この問題では、AB = 7, AC = 3, BC = 5である。BDの長さを $x$ とすると、CDの長さは $BC + BD = 5 + x$ となる。

したがって、

$7:3 = x:(5+x)$

これを解くために、比例式の外項の積と内項の積が等しいことを利用する。

$7(5+x) = 3x$

$35 + 7x = 3x$

$4x = -35$

$x = \frac{35}{4}$

したがって、BDの長さは $\frac{35}{4}$となる。

3. 最終的な答え

$\frac{35}{4}$