三角形ABCにおいて、点Oは外心であり、$∠BAO = 40^\circ$、$∠ABO = 20^\circ$である。$∠ACO = α$を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Oは外心であり、$∠BAO = 40^\circ$、$∠ABO = 20^\circ$である。$∠ACO = α$を求める。

2. 解き方の手順

外心Oは三角形ABCの外接円の中心である。したがって、$OA = OB = OC$である。

* 三角形OABは二等辺三角形であり、$OA = OB$なので、$∠OAB = ∠OBA = 40^\circ$。よって、$∠AOB = 180^\circ - (40^\circ + 20^\circ) = 120^\circ$。

* 三角形OBCも二等辺三角形であり、$OB = OC$なので、$∠OBC = ∠OCB$。

* 三角形OCAも二等辺三角形であり、$OC = OA$なので、$∠OCA = ∠OAC = α$。

* $∠ABC = ∠ABO + ∠OBC = 20^\circ + ∠OBC$。

* 三角形ABCの内角の和は$180^\circ$なので、$∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180^\circ$。

$∠BAC = 40^\circ + α$

$∠BCA = α + ∠BCO$

$∠ABC = 20^\circ + ∠BCO$

したがって、$40^\circ + α + 20^\circ + ∠BCO + α + ∠BCO = 180^\circ$。

$2α + 2∠BCO = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$。

$α + ∠BCO = 60^\circ$。

別解:

* 外心Oに対して、$∠BOC = 2∠BAC$, $∠AOB = 2∠ACB$, $∠COA = 2∠CBA$。

* $∠BAC = ∠BAO + ∠OAC = 40^\circ + α$。

* $∠AOB = 180^\circ - (40^\circ + 20^\circ) = 120^\circ$。

* $∠BOC = 2∠BAC = 2(40^\circ + α)$。

* $∠COA = 360^\circ - ∠AOB - ∠BOC = 360^\circ - 120^\circ - 2(40^\circ + α) = 240^\circ - 80^\circ - 2α = 160^\circ - 2α$。

* $∠BCA = α + α = 2α$なので$∠AOB=2∠ACB = 4α$. ゆえに$120 = 4α$, $α = 30$

* $∠A = 40+α$、$∠B = 20+∠OBC$、$∠C = α+∠OCB$

$α=30$、$∠A = 70$

$OA=OB=OC$から、

$∠OBC=∠OCB=x$とおくと、$∠B=20+x$、$∠C=30+x$

内角の和より $70 + 20+x + 30+x = 180$, $120+2x=180$, $2x=60$, $x=30$

3. 最終的な答え

α = 30°