$|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 2$ であり、ベクトル $\vec{a} - \vec{b}$ と $\vec{a} + 6\vec{b}$ が垂直であるとき、ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求めよ。

1. 問題の内容

$|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 2$ であり、ベクトル $\vec{a} - \vec{b}$ と $\vec{a} + 6\vec{b}$ が垂直であるとき、ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$\vec{a} - \vec{b}$ と $\vec{a} + 6\vec{b}$ が垂直であることから、内積は0である。

よって、

$(\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} + 6\vec{b}) = 0$

内積を展開すると、

$\vec{a} \cdot \vec{a} + 6\vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{b} \cdot \vec{a} - 6\vec{b} \cdot \vec{b} = 0$

$|\vec{a}|^2 + 5\vec{a} \cdot \vec{b} - 6|\vec{b}|^2 = 0$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos\theta$ であるから、

$|\vec{a}|^2 + 5|\vec{a}||\vec{b}| \cos\theta - 6|\vec{b}|^2 = 0$

$|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 2$ を代入すると、

$3^2 + 5 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \cos\theta - 6 \cdot 2^2 = 0$

$9 + 30\cos\theta - 24 = 0$

$30\cos\theta = 15$

$\cos\theta = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$

$0 \le \theta \le \pi$ であるから、$\theta = \frac{\pi}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{3}$