極限 $\lim_{x \to 1} \frac{x-1}{1-e^{2x-2}}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x \to 1} \frac{x-1}{1-e^{2x-2}}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

この極限は不定形 $\frac{0}{0}$ の形なので、ロピタルの定理を利用します。

ロピタルの定理を適用するため、分子と分母をそれぞれ微分します。

分子の微分: $\frac{d}{dx}(x-1) = 1$

分母の微分: $\frac{d}{dx}(1-e^{2x-2}) = -e^{2x-2} \cdot 2 = -2e^{2x-2}$

したがって、

$\lim_{x \to 1} \frac{x-1}{1-e^{2x-2}} = \lim_{x \to 1} \frac{1}{-2e^{2x-2}}$

$x \to 1$ のとき、$2x-2 \to 0$ なので、$e^{2x-2} \to e^0 = 1$ となります。

したがって、

$\lim_{x \to 1} \frac{1}{-2e^{2x-2}} = \frac{1}{-2 \cdot 1} = -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{2}$