$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{\log(1 + 2x)}$ の極限値を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{\log(1 + 2x)}$ の極限値を求めよ。

2. 解き方の手順

ロピタルの定理を用いることを考えます。

$x \to 0$ のとき、$e^x - 1 \to 0$ かつ $\log(1 + 2x) \to 0$ なので、不定形 $\frac{0}{0}$ の形になっています。

したがって、ロピタルの定理より、

$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{\log(1 + 2x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(e^x - 1)}{\frac{d}{dx}\log(1 + 2x)}$$

$$\frac{d}{dx}(e^x - 1) = e^x$$

$$\frac{d}{dx}\log(1 + 2x) = \frac{2}{1 + 2x}$$

よって、

$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{\log(1 + 2x)} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{\frac{2}{1 + 2x}} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x (1 + 2x)}{2}$$

$x \to 0$ のとき、$e^x \to 1$ かつ $1 + 2x \to 1$ なので、

$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x (1 + 2x)}{2} = \frac{1 \cdot 1}{2} = \frac{1}{2}$$

3. 最終的な答え

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