三角形ABCにおいて、点Iは内心である。$∠BAC = 66°$、$∠ICA = 22°$のとき、$∠P$の大きさを求める。点Pは線分BC上にあり、直線AIと円I（内接円）との交点を表している。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Iは内心である。$∠BAC = 66°$、$∠ICA = 22°$のとき、$∠P$の大きさを求める。点Pは線分BC上にあり、直線AIと円I（内接円）との交点を表している。

2. 解き方の手順

まず、三角形の内角の和は$180°$なので、三角形ABCについて、

$∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°$

$66° + ∠ABC + ∠BCA = 180°$

$∠ABC + ∠BCA = 180° - 66° = 114°$

点Iは三角形ABCの内心なので、角の二等分線の交点である。

したがって、$∠BAI = ∠CAI = \frac{∠BAC}{2} = \frac{66°}{2} = 33°$

また、$∠BCI = ∠ACI = \frac{∠BCA}{2} = 22°$ (問題文より$∠ICA = ∠BCI= 22°$)

よって、$∠BCA = 2 \times 22° = 44°$

$∠ABC + ∠BCA = 114°$より、

$∠ABC = 114° - ∠BCA = 114° - 44° = 70°$

$∠IBC = \frac{∠ABC}{2} = \frac{70°}{2} = 35°$

三角形ABIについて、

$∠ABI + ∠BAI + ∠AIB = 180°$

$35° + 33° + ∠AIB = 180°$

$∠AIB = 180° - 35° - 33° = 112°$

三角形BCIについて、

$∠IBC + ∠BCI + ∠BIC = 180°$

$35° + 22° + ∠BIC = 180°$

$∠BIC = 180° - 35° - 22° = 123°$

$∠AIB + ∠BIC + ∠AIC = 360°$

$112° + 123° + ∠AIC = 360°$

$∠AIC = 360° - 112° - 123° = 125°$

$∠P$は$∠IBC + ∠BCI$の外角になるので、

$∠BIP = ∠IBC+∠ICB = 35°+22°= 57°$

また、$∠AIB = ∠AIP+∠BIP = 112°$より、

$∠AIP=∠AIB -∠BIP = 112°- 57°=55°$

直線AIと円の交点がPなので、$∠IBC + ∠ICB = ∠BIP=35+22 = 57$　三角形の内角の和から$∠BIC = 180-57 =123°$

四角形ABICについて考える

$∠BIC = 123°$　

$∠BAI = 33°$

$∠ACI = 22°$

$∠IBC = \frac{∠ABC}{2} = \frac{70°}{2} = 35°$

三角形BPIについて考えると

$∠BPI + ∠PBI + ∠BIP=180°$

$∠PBI=∠IBC=35°$

$∠BIP=57°$

よって、

$∠BPI = 180-57-35=88°$

3. 最終的な答え

88