関数 $y = \frac{x^3 - 4x + 2}{x - 2}$ を微分した $y'$ を求め、選択肢の中から正しいものを選ぶ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{x^3 - 4x + 2}{x - 2}$ を微分した $y'$ を求め、選択肢の中から正しいものを選ぶ。

2. 解き方の手順

商の微分公式を用いる。すなわち、$y = \frac{u}{v}$ のとき、$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ である。

$u = x^3 - 4x + 2$ と $v = x - 2$ とすると、

$u' = 3x^2 - 4$ と $v' = 1$ となる。

したがって、

$y' = \frac{(3x^2 - 4)(x - 2) - (x^3 - 4x + 2)(1)}{(x - 2)^2}$

$y' = \frac{3x^3 - 6x^2 - 4x + 8 - x^3 + 4x - 2}{(x - 2)^2}$

$y' = \frac{2x^3 - 6x^2 + 6}{(x - 2)^2}$

$y' = \frac{2(x^3 - 3x^2 + 3)}{(x - 2)^2}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{2(x^3 - 3x^2 + 3)}{(x - 2)^2}$

選択肢の4が正解。