関数 $y = \frac{x-1}{x^3+1}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{x-1}{x^3+1}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

商の微分公式 $\frac{d}{dx} \left(\frac{u}{v}\right) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用いる。

$u = x-1$ と $v = x^3+1$ とおくと、

$u' = \frac{d}{dx}(x-1) = 1$

$v' = \frac{d}{dx}(x^3+1) = 3x^2$

したがって、

$$$$

\begin{aligned}

y' &= \frac{d}{dx} \left(\frac{x-1}{x^3+1}\right) \\

&= \frac{1 \cdot (x^3+1) - (x-1) \cdot 3x^2}{(x^3+1)^2} \\

&= \frac{x^3+1 - (3x^3 - 3x^2)}{(x^3+1)^2} \\

&= \frac{x^3+1 - 3x^3 + 3x^2}{(x^3+1)^2} \\

&= \frac{-2x^3 + 3x^2 + 1}{(x^3+1)^2}

\end{aligned}

$$$$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{-2x^3 + 3x^2 + 1}{(x^3+1)^2}$